黑龙江龙东地区―高二数学第一学期高中教学联合体期末理

黑龙江龙东地区20112012学年度高二第一学期高中教学联合体期末试卷（数学理）考试说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间150分钟。（1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。（3） 保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。第卷（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1 、对于实数，“”是“”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2、命题：“”的否定为 （ ） ABCD3、一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ）A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,64、在区间 -1，2上随机取一个数x，则的概率为 ( )A B C D5、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 （ ）A. B. C. D. 6、执行右面的程序框图（1），如果输入的N是6，那么输出的p是 ( ) A.120 B .720 C. 1440 D. 5040m (1) (2)7、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图（2）所示，则其抽样的100根中，有（ ）根在棉花纤维的长度小于20mm。A20 B40 C30 D258、若向量，且与的夹角余弦为，则等于 （ ）A B C或 D或9、设双曲线的渐近线方程为，则的值为 （ ）A4 B3 C2 D110、椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 （ ）A B C D411、已知A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ） AB C D12、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 （ ） A.2 B.3 C.6 D.8第卷（90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为_。 14、设有两个命题，p：关于x的不等式（a0，且a1）的解集是x|x0，且a1）的解集是x|x0；q：函数的定义域为R。如果为真命题，为假命题，则实数a的取值范围_。 答案: 。函数的定义域为R等价于，所以，解得，即。如果为真命题，为假命题，则p真q假或p假q真，或，解得或。15.已知F为抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设.则与的比值等于 .16.（全国卷理12文12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，由，得，即k=，故选B.17（本小题满分10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等（）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率17（本小题满分10分）解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，用表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即， 4（）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则 5 事件A由4个基本事件组成，故所求概率 7（）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则 8 事件B由7个基本事件组成，故所求概率 10 18（本小题共12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAB；（）求直线BC与平面APB所成角的正弦值（）求点C到平面APB的距离.解法一：（I） 取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB. 1AC=BC,CDAB. 2PDCD=D,AB平面PCD. 3PC平面PCD.PCAB. 4（）AC=BC，APBP，APCBPC.又PCBC.PCBC.又ACB=90,即ACBC.且ACPCC,BC平面PAC.取AP中点E，连结BE，CE.ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影.CEAP.EBC是直线BC与平面APB所成的角 6在BCE中，BCE90，BC2，BEAB，sinEBC= 8()由（）知AB平面PCD，平面APB平面PCD.过C作CHPD，垂足为H.平面APB平面PCDPD，CH平面APB.CH的长即为点C到平面APB的距离， 10由（）知PCAB，又PCAC，且ABACA.PC平面ABC.CD平面ABC.PCCD.在RtPCD中，CDPCCH=点C到平面APB的距离为 12解法二：（）ACBC，APBP，APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBCC，PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB. 4（）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，1）.PBAB2，t2，P（0，0，2）.取AP中点E，连结BE，CE.ACPC，ABBP,CEAP，BEAP.EBC是直线BC与平面APB所成的角 6E（0，1，1），sinEBC=求直线BC与平面APB所成角的正弦值 8（）AC=BC=PC，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如（）建立空间直角坐标第C-xyZ.点H的坐标为（）. 点C到平面APB的距离为 1219已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点。（）证明：面面；（）求与所成的角的余弦值；（）求面与面所成二面角的余弦值。证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为. 2（）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面面. 4（）解：因 6（）解：在上取一点，则存在使要使 7 8为所求二面角的平面角. 9 1220（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。20解：（1）设抛物线的方程为，则消去得 2，4则 6（2）解法一、显然抛物线与直线无公共点，设点为抛物线上的任意一点，点P到直线的距离为，则 7 10 当时，取得最小值，此时为所求的点 12解法二、显然抛物线与直线无公共点，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，切点为P，则点P即为所求点。7由消去并化简得：， 9直线与抛物线相切，解得： 把代入方程并解得：，故所求点为。 1221（16分）设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2（I）求双曲线的渐近线方程；（II）过点能否作出直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由21（I）解： 2分 双曲线渐近线方程为4分（）解：若过点的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去5分设直线方程为 代入得：6分 8分 9分 不合题意. 不存在这样的直线.12分22、（山东卷理21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。（）求椭圆和双曲线的标准方程（）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k2=1 （）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。【解析】（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以， 所以椭圆的标准方程为； 1所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线