广东省恵州市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

2016-2017学年广东省恵州市高一（下）期末数学试卷一.选择题1一元二次不等式x2+x+20的解集是（）Ax|x1或x2Bx|x2或x1Cx|1x2Dx|2x12已知，为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A若ba，a，则bB若，=c，bc，则bC若ac，bc，则abD若ab=A，a，b，a，b，则3在ABC中，AC=1，A=30，则ABC面积为（）ABC或D或4设直线l1：kxy+1=0，l2：xky+1=0，若l1l2，则k=（）A1B1C1D05已知a0，b0，a+b=1，则+的最小值是（）A4B5C8D96若an为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+a9的值为（）A114B117C111D1087如图：正四面体SABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A90B45C60D308若直线与直线2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）ABCD9若实数x，y满足约束条件，则x2y的最大值为（）A9B3C1D310在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A=60，则（）ABCD11由直线y=x+2上的一点向圆（x3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A4B3CD112已知an=log（n+1）（n+2）（nN*）我们把使乘积a1a2a3an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A1024B2003C2026D2048二.填空题13cos45sin15sin45cos15的值为 14圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程是 15公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为 16一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（）的值18（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（）若b=4，求sinA的值； （） 若ABC的面积SABC=4求b，c的值19（12分）在ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），（）求直线BC的方程；（）求点C的坐标20（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点（）求证：QB平面AEC；（）求证：平面QDC平面AEC；（）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+n（nN*）（1）求证数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）若bn=log2（an+1），求数列的前n项和Tn22（12分）已知圆C的方程为：x2+y22x4y+m=0（1）求m的取值范围；（2）若圆C与直线3x+4y6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值；（3）设直线xy1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由2016-2017学年广东省恵州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1一元二次不等式x2+x+20的解集是（）Ax|x1或x2Bx|x2或x1Cx|1x2Dx|2x1【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】把不等式x2+x+20化为（x+1）（x2）0，求出解集即可【解答】解：一元二次不等式x2+x+20可化为x2x20，即（x+1）（x2）0，解得1x2，不等式的解集是x|1x2故选：C【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题2已知，为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A若ba，a，则bB若，=c，bc，则bC若ac，bc，则abD若ab=A，a，b，a，b，则【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】在A中，b或b；在B中，b与相交、平行或b；在C中，a与b相交、平行或异面；在D中，由面面平行的判定定理得【解答】解：由，为平面，a，b，c为直线，知：在A中，若ba，a，则b或b，故A错误；在B中，若，=c，bc，则b与相交、平行或b，故B错误；在C中，若ac，bc，则a与b相交、平行或异面，故C错误；在D中，若ab=A，a，b，a，b，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题3在ABC中，AC=1，A=30，则ABC面积为（）ABC或D或【考点】HP：正弦定理【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出ABC面积【解答】解：因为，AC=1，A=30，则ABC面积为S=，故选：B【点评】本题考查正弦定理中的三角形的面积公式，属于基础题4设直线l1：kxy+1=0，l2：xky+1=0，若l1l2，则k=（）A1B1C1D0【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】对k分类讨论，利用平行线的充要条件即可得出【解答】解：k=0时，两条直线不平行k0时，由l1l2，则，解得k=1综上可得：k=1故选：A【点评】本题考查了平行线的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5已知a0，b0，a+b=1，则+的最小值是（）A4B5C8D9【考点】7F：基本不等式【分析】结合乘“1”法，通过基本不等式求解最值即可【解答】解：a0，b0，a+b=1，+=（+）（a+b）=5+5+2 =9，当且仅当b=2a=时取等号故选：9【点评】本题考查了乘“1”法在基本不等式的应用，考查基本不等式的性质以及计算能力6若an为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+a9的值为（）A114B117C111D108【考点】85：等差数列的前n项和【分析】a2+a5+a8=39=3a5，解得a5=13再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解：a2+a5+a8=39=3a5，解得a5=13则a1+a2+a9=9a5=117故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7如图：正四面体SABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A90B45C60D30【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，而EDDFDEF=45，故选B【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，取AC的中点D，是解题的关键，属于基础题8若直线与直线2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）ABCD【考点】I3：直线的斜率；IM：两条直线的交点坐标【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围【解答】解：联立两直线方程得：，将代入得：x=，把代入，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由解得：k；由解得k或k，所以不等式的解集为：k，设直线l的倾斜角为，则tan，所以（，）方法二、直线l恒过定点（0，），作出两直线的图象，设直线2x+3y6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B从图中看出，斜率kAPk+，即k+，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）故选B【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题9若实数x，y满足约束条件，则x2y的最大值为（）A9B3C1D3【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B（2，3）时，z最小，当直线过A时，z最大【解答】解：画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=x2y，作出目标函数对应的直线，直线过B时，直线的纵截距最小，z最大，由：，可得B（1，1），z最大值为1；故选：C【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值10在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A=60，则（）ABCD【考点】HP：正弦定理【分析】由a，b，c成等比数列，可得代入再利用正弦定理可得=sinA，即可得出【解答】解：a，b，c成等比数列，=sinA=sin60=故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11由直线y=x+2上的一点向圆（x3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A4B3CD1【考点】J9：直线与圆的位置关系；IT：点到直线的距离公式【分析】确定圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点C到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x2的距离即为|PC|的长，然后根据半径r，PC，PM满足勾股定理即可求出此时的切线长【解答】解：由题意，圆心C（3，1），半径r=，要使切线长的最小，则必须点C到直线的距离最小此时，圆心C（3，1）到直线y=x+2的距离d=所求的最小PM=4故选A【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系，考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，解题的关键是找出切线长最短时的条件12已知an=log（n+1）（n+2）（nN*）我们把使乘积a1a2a3an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A1024B2003C2026D2048【考点】4H：对数的运算性质【分析】根据换底公式，把an=log（n+1）（n+2）代入a1a2an并且化简，转化为log2（n+2），由log2（n+2）为整数，即n+2=2m，mN*，令m=1，2，3，10，可求得区间1，2004内的所有优数的和【解答】解：由换底公式：a1a2a3an=log23log34log（n+1）（n+2）=log2（n+2），log2（n+2）为整数，n+2=2m，mN*n分别可取222，232，242，最大值2m22004，m最大可取10，故和为22+23+21018=2026故选：C【点评】本题了对数的换底公式，考查了数列和的求法，把a1a2an化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题二.填空题13cos45sin15sin45cos15的值为【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：cos45sin15sin45cos15=sin（1545）=sin30=故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数值的求法，是基础题14圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程是x2+（y2）2=1【考点】J1：圆的标准方程【分析】由题意可设设圆心为（0，b），根据半径为1的圆过点（1，2），求得b的值，可得圆的标准方程【解答】解：设圆心在y轴上，半径为1的圆的圆心为（0，b），因为此圆过点（1，2），半径为1=，求得b=2，故要求的圆的方程为x2+（y2）2=1，故答案为：x2+（y2）2=1【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题15公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为3【考点】8G：等比数列的性质【分析】设等差数列的公差为d，d0，由等比数列的性质可得d的方程，解方程易得公比【解答】解：设等差数列的公差为d，d0，由题意可得（a1+5d）2=a1（a1+20d），化简可得5d22a1d=0，d0，d=，数列的公比为=3故答案为：3【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题16一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3【考点】L!：由三视图求面积、体积；LG：球的体积和表面积【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC=，外接球的面积是，故答案为：3【点评】本题考查由三视图求几何体的面积，考查球的表面积考查多面体的外接球的运算，这是一个综合题目，解题时注意几何体对称性的应用三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17（10分）（2017春惠州期末）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（）的值【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期（2）根据函数f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），f（x）的最小正周期为=（2）f（）=2sin（+）=2sin=2sin=1【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题18（12分）（2017春惠州期末）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（）若b=4，求sinA的值； （） 若ABC的面积SABC=4求b，c的值【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】（）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值； （）由ABC的面积SABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值【解答】解：（）cosB=sinB=，a=2，b=4，sinA=；（）SABC=4=2c，c=5，b=【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）（2013双台子区校级二模）在ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），（）求直线BC的方程；（）求点C的坐标【考点】IM：两条直线的交点坐标；IG：直线的一般式方程【分析】（I）根据垂直的位置关系，算出直线BC的斜率为2，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线BC的方程；（II）由BC边的高所在直线方程和y=0，解出A（1，0），从而得出直线AB的方程由直线AC、AB关于直线y=0对称，算出AC方程，最后将AC方程与BC方程联解，即可得出点C的坐标【解答】解：（）设BC边上的高为AD，BC与AD互相垂直，且AD的斜率为，直线BC的斜率为k=2，结合B（1，2），可得BC的点斜式方程：y2=2（x1），化简整理，得 2x+y4=0，即为所求的直线BC方程（）由x2y+1=0和y=0联解，得A（1，0）由此可得直线AB方程为：，即y=x+1AB，AC关于角A平分线x轴对称，直线AC的方程为：y=x1 直线BC方程为y=2x+4 将AC、BC方程联解，得x=5，y=6 因此，可得C点的坐标为（5，6）【点评】本题给出三角形的角平分线和高所在直线方程，求边BC所在直线的方程和点C坐标着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题20（12分）（2017春惠州期末）如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点（）求证：QB平面AEC；（）求证：平面QDC平面AEC；（）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）连接BD交AC于O，连接EO证明EOQB，即可证明QB平面AEC（）证明CDAE，AEQD推出AE平面QDC，然后证明平面QDC平面AEC（）通过多面体ABCEQ为四棱锥QABCD截去三棱锥EACD所得，计算求解即可【解答】（本小题满分14分）（）证明：连接BD交AC于O，连接EO因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EOQB（2分）又 EO平面AEC，QB平面AEC，所以 QB平面AEC（）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD平面ABCD，CDAD，所以CD平面ADPQ（6分）又AE平面ADPQ，所以CDAE（7分）因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AEQD（8分）所以AE平面QDC（9分）所以平面QDC平面AEC（10分）（）解：多面体ABCEQ为四棱锥QABCD截去三棱锥EACD所得，（12分）所以（14分）【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力21（12分）（2017春惠州期末）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+n（nN*）（1）求证数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）若bn=log2（an+1），求数列的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式【分析】（1）通过Sn=2an+n（nN+）与Sn1=2an1+n1（n2）作差、变形可知an1=2（an11），进而计算即得结论（2）由bn=log2（an+1）=log22n=n得=，累加即可求解【解答】解：（1）Sn=2an+n（nN+）Sn1=2an1+n1（n2）两式相减得：an=2an11，变形可得：an1=2（an11），又a1=2a1+1，即a11=12=2，数列an1是首项为2、公比为2的等比数列，数列an1=22n1=2n，an=2n+1，（2）bn=log2（an+1）=log22n=n=Tn=【点评】本题考查了数列的递