新北师大版七年级上数学第二章(有理数及其运算)讲义

第二章 有理数及其运算一、本章知识梳理1、大于0的数叫_，小于0的数叫_。整数与分数统称为_。2、有理数大小的比较，在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。3、相反数：如果两个数只有符号_，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0），互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。4、绝对值的定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。两个负数，绝对值大的反而_.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 或 5、倒数：乘积是_的两个数互为倒数。6、有理数加法法则：同号两数相加，取_符号，并把绝对值_。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取_的加数的符号，并用较大数的绝对值_较小数的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。7、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 (1)加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）8、有理数减法法则： 减去一个数，等于_。9、有理数乘法法则： 两数相乘，同号得_，异号得_,并把绝对值_。任何数与0相乘，积仍为0。10、乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。（1）交换律：ab=ba； （2）结合律：（ab）c=a（bc）（3）分配律：a（b+c）=ab+ac。11、有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得_，异号得_，并把绝对值_。0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。指数底数幂12、有理数的乘方 注意：一个数可以看作是本身的一次方，如5=；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是_；负数的奇次幂是_，负数的偶次幂是_；任何数的偶数次幂都是_；1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；13、有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的。14、科学记数法：把一个大于10的数写成a 的形式，其中a是整数数位只有一位的数，即，这样的记数法叫做科学记数法。15、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。二、本章重难点突破1、重点：理解与掌握有理数、相反数、绝对值等概念；2、难点：有理数的混合运算及绝对值、相反数的运用。三、典例剖析专题一： 正负数、相反数、倒数、数轴、绝对值的概念例1：-（-2）的相反数是_。例2：若变式训练：1、绝对值小于5而不小于2的所有的整数有_。2、-3的倒数是_。专题二：有理数的乘方例3：（1） （2） （3） （4）变式训练：（1） （2） （3）专题三：科学记数法例4：用科学记数法表示下列各数。（1） （2）专题四：有理数的混合运算例5： 计算：解：原式=例6： 计算：解：原式=例7 ：计算：解：原式=变式训练：1、计算：解：原式=2、 如果，求代数式的值。解：当时，原式= 专题五：绝对值的意义与性质 非负性 非负数的性质：1）非负数的和仍为非负数。2）几个非负数的和为0，则他们都为0。例8：若的值等于多少？例9：如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方例10：已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。例11：计算：1+2-3-4+5+6-7-8+2005+2006 变式训练：1、已知，求的值是（ ）A.2 B.3 C.9 D.62、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式，又可表示为0， 的形式，求。3、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ ） A. B. C.0 D.专题六：有理数的实际应用例12：有一只蜗牛沿高35米的墙爬行，白天上升6米，晚上下降2米。若今天早上8时它的位置是离地面5米，试问： （1）第二天早上8时蜗牛离地面多少米？ （2）四天三夜后，蜗牛的离墙顶还有多少米？ （3）共需要多少天蜗牛才能爬到墙顶？变式训练：1、某城市用水标准为：居民每户用水未超过7立方米时，每立方米收费1.00元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收水费1.50元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费居住在惠源小区的李超家1月份用水10立方米，2月份用水6立方米，请你帮李超算算，他家这两个月共缴水费多少元？四、达标训练一、选择题1、在有理数中，倒数等于本身的数有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个2、在下列说法中，正确的个数是（ ）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示任何有理数的绝对值都不可能是负数每个有理数都有相反数每个有理数都有倒数 A、4 B、3 C、2 D、1 3、下列说法正确的是（ ） A、正数与负数统称为有理数 B、带负号的数是负数 C、正数一定大于0 D、最大的负数是14、在数轴上，原点两旁与原点等距离的两点所表示的数的关系是（ ） A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、不能确定5、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ）A、正数 B、负数 C、非负数 D、不等于零的有理数6若，那么下面正确的是（ ） A、B、C、D、7若，则是（ ） A、正数B、负数C、整数D、任意有理数 8如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）A、1 B、0 C、1 D、1，0，19下面四个命