重庆高三数学学业质量调研抽测二诊理

重庆市2019届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，从而得到三者之间的关系.【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（ ）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为 为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值.【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，则，则当时，；当时，即时，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数 的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得： 又，可得： 当时，不单调，可知错误；当时，单调递增，可知正确；当时，单调递减，可知错误；当时，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知 设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知： 则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则 又，可得 则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则_【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为_【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果.【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则 抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为_【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由得：得： 当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求值.【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：， 的面积为（2）， ，即 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则， 又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）分别证得，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面法向量，利用法向量夹角求得结果.【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，为正三角形 在中， ，由勾股定理知为等腰直角三角形 ，即平面 又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，由得：由，得：（*）， ，结合（*）得： 从而，点在椭圆上 整理得：即 或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且 且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即 【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值.【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，满足【点睛】本题考查了直线参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线