2020届江苏省南通、泰州市高三第一次调研（期末）测试数学（理）试题

南通南通市、市、泰州泰州市市 2020 届高三上学期届高三上学期期末联考期末联考 数学数学理理试试卷卷2020.1.14 一、填空题一、填空题 1.已知集合 A 1，0，2， B 1，1，2， 则 AB =_. 2.已知复数 z 满足1 i z 2i ， 其中 i 是虚数单位，则 z 的模为_. 3.某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35， 41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为_. 4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_. 5.已知等差数列an 的公差 d 不为 0 ，且 a1，a2，a4 成等比数列，则 1 a d 的值为_. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为_. 7.在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1AB2 ，则三枝锥 A1 BB1C1 的体积为_. 8.已如函数 .若当 x 6 时，函数 f x 取得最大值，则 的最小值为 _. 9. 已 知 函 数 f x m 2x2 m 8x m R 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x R ， 关 于 x 的 不 等 式 f x 2 1 f a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_. 10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A，B 分别在双曲线 C : x2 y 2 1 的两条渐近线上， 且 双曲线 C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为_. 11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释 放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE 4.8 1.5M . 2008 年 5 月汶川 发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来 能量的_倍. 12. 已知ABC 的面积为 3 ，且 AB AC .若 2CDDA uuu ruuu r ，则 BD 的最小值为_. 13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 C1 : x2 y 2 8 与圆 C2 : x2 y 2 2x y a 0 相交于 A，B 两点.若圆 C1 上存在点 P ，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为 _. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 x 2af x1 a2 0 有五个不相等 的实数根，则实数 a 的取值范围是_. 二、解答题二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， PC AB ， D， E 分别为 BC， AC 的中点。 求证: (1) AB / / 平面 PDE ; (2)平面 PAB 平面 PAC . 16. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，已知 AC4，BC3，cosB 1 4 。 (1)求 sin A 的值: (2)求 BA BC uu u r uuu r g 的值。 17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E : 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为 4 ，两条准线间的距 离为 8 ， A， B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。 (1)求椭圆 E 的标准方程: (2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC 4 ，点 M ， N 分别在边 BC，CD 上， AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P . 若 M ， N 分别是 BC，CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上; 若点 P 在椭圆 E 上，证明: BM CN 为定值，并求出该定值。 18. (本小题满分 16 分) 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋 转 到三角形 A1B1C1 ，且 .顺次连结 A， A1，B，B1，C，C1，A ，得到六边形徽标 AA1BB1CC1 . (1)当 6 时，求六边形徽标的面积; (2)求六边形微标的周长的最大值. 19. (本小题满分 16 分) 已知数列an满足： a1 1， 且当 n 2 时， （1）若 1， 证明：数列a2n1是等差数列； （2）若 2. 设 ，求数列bn 的通项公式； 设，证明：对于任意的 p， m N *，当 p m， 都有 p Cm. 20. (本小题满分 16 分) 设函数，其中 e 为自然对数的底数. （1）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调减区间； （2）已知函数 f (x) 的导函数 f (x) 有三个零点 x1， x2， x3(x1 x2 x 3). 求 a 的取值范围； 若 m1， m2(m1 m2) 是函数 f (x) 的两个零点，证明： x1 m1 x1 1. 2121 【选做题】本题包括A A、B B、C C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分） 已知，向量是矩阵的属于特征值3 的一个特征向量 （1）求矩阵； （2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点P（2,2），求点 P 的坐标 B B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t 为参数），椭圆C 的 参数方程为 ( 为参数)求椭圆C 上的点到直线 l 的距离的最大值 C C选修4-5：不等式选讲（本小题满分10 分） 已知a，b，c都是正实数，且 证明： 2222(本小题满分10 分) 如图，在直四棱柱中ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ABAD，ABADAA12BC2 ， （1）求二面角C1B1CD1的余弦值； （2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为 4 15 15 ，求AQ 的长 2323(本小题满分10 分) 一只口袋装有形