2020届辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题

页 1 第 丹东市 20192020 学年度上学期期末教学质量监测 高高三理科三理科数学数学 命题：宋润生 郭林 葛冰 杨晓东 审核：宋润生 本试卷共 22 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1设集合 Ax|x22x30，B x|x20，则 AB A(1，2) B(2，3) C(3，1) D(，2) 2复数 z3i 1i的模|z| A1 B 2 C2 D 5 3某商家统计了去年 P，Q 两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额的雷达图，图中 A 点表 示 P 产品 2 月份销售额约为 20 万元，B 点表示 Q 产品 9 月份销售额约为 25 万元 根据图中信息，下面统计结论错误 的是 AP 产品的销售额极差较大 BP 产品销售额的中位数较大 CQ 产品的销售额平均值较大 DQ 产品的销售额波动较小 4(12x2 )(1x)4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 25 30 20 15 10 5 0 1月 月 2月 月 3月 月 4月 月 5月 月 6月 月 7月 月 8月 月 9月 月 10月 月月 11月 月月 12月 月月 P 产品的销售额/万元 Q 产品的销售额/万元 A B 页 2 第 5设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是 Aabc Bbca Cbac Dcba 6若 sin2cos，则 cos2sin2 A12 5 B9 5 C1 D4 5 7已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C2 3 D5 6 8设 ， 是两个平面，m，n 是两条直线，下列命题错误 的是 A如果 m，n，那么 mn B如果 ，m，那么 m C如果 mn，m，n，那么 D如果 内有两条相交直线与 平行，那么 9甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以 3:1 获胜的概率为 A 3 16 B1 4 C3 8 D1 2 10下列函数中，其图象与函数 ylg x 的图象关于点(1，0)对称的是 Aylg(1x) Bylg(2x) Cylog0.1(1x) Dylog0.1(2x) 11关于函数 f (x)|sinx|sin|x|有下述四个结论： f (x)是偶函数 f (x)在区间( 2，0)单调递减 f (x)在，有 4 个零点 f (x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A，B 两点，若|AB|8，则 p A1 2 B1 C2 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知函数 f (x)在 R 单调递减，且为奇函数，则满足 f (x1)f (x3)0 的 x 的取值范围为 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为a 2b2c2 4 ， 则 A 页 3 第 15设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2y2a2 交于 P，Q 两点，若|PQ|OF|，则 C 的渐近线方程为 16已知正三棱柱 ABCA1B1C1的六个顶点都在球 O 的表面上，AB3，异面直线 AC1与 BC 所成角的余 弦值为 3 10，则 AA1 ，球 O 的表面积为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11， an1Sn Sn1 （1）证明：数列 1 Sn是等差数列； （2）求an的通项公式 18 （12 分） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根 据历史资料， 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图， 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品， 以 X(单 位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将 T 表示为 X 的函数； （2）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率； （3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率，例如：若 X100，110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落 入100，110）的概率求利润 T 的数学期望 19 （12 分） 如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30 ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 需求量 X(t) 频率 组距 0.010 0.015 0.020 0.030 100 110 120 130 140 150 0.025 页 4 第 20 （12 分） 已知圆 O1：x2y22x70，动圆 O2过定点 F(1，0)且与圆 O1相切，圆心 O2的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）设斜率为 1 的直线 l 交 C 于 M， N 两点，交 y 轴于 D 点，y 轴交 C 于 A，B 两点，若|DM| |DN| |DA|DB|，求实数 的值 21 （12 分） 已知函数 f (x)1x 1xlnx （1）讨论函数 f (x)的单调性； （2）证明：在(1，)上存在唯一的 x0，使得曲线 ylnx 在 xx0处的切线 l 也是曲线 yex的切线 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 过点 M(2，4)以原点 O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos ， （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且|MA| |MB|40，求倾斜角 的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 a0，b0 （1）证明：a3b3a2bab2； （2）若 ab2，求 a3b3的最小值 页 5 第 丹东市 20192020 学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学答案与评分参考高三理科数学答案与评分参考 一、选择题 1A 2D 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10D 11A 12C 二、填空题 13(1，) 143 4 15yx 164，28 三、解答题： 17解： （1）因为 an1Sn1Sn，所以 Sn1SnSn Sn1 两边同除以 SnSn1得 1 Sn1 1 Sn1 因为 a11，所以 1 S11 因此数列 1 Sn是首项为1，公差为1 的等差数列 【以上教育部考试中心试题分析解法】 （6 分） （2）由（1）得 1 Sn1(n1)(1) n，Sn 1 n 当 n2 时，anSn1Sn 1 n(n1) 于是 an 1， n1， 1 n(n1)， n2，N * （12 分） 18解： 【教育部考试中心试题分析解法】 （1）当 X100，130)时，T500X300(130X)800X39000 当 X130，150时，T500 13065000 所以 T 800X39000， 100X130， 65000， 130X150 （4 分） （2）由（1）知 T57000 元当且仅当 120X150 由直方图知 X120， 150的频率为 0.30.250.150.7， 所以下一个销售季度内利润 T 不少于 57000 元的概率估计值为 0.7 （8 分） （3）依题意可得 T 的分布列为 T 45000 53000 61000 65000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 页 6 第 所以 ET4500 0.153000 0.261000 0.365000 0.459400 （12 分） 19解法 1： 【教育部考试中心试题分析解法 1】 （1）因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点，所以 POAC，且 PO2 3 连结 OB因为 ABBC 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB1 2AC2 由 OP2OB2PB2知 POOB 由 POAC， POOB 知 PO平面 ABC （4 分） （2）过 C 作平面 PAM 的垂线，垂足为 E 在平面 PAM 内过 E 作 EDPA，垂足为 D，连接 CD， ，则 PA平 面 CDE，于是 CDPA 所以CDE 是二面角 MPAC 的平面角 因为二面角 MPAC 为 30 ，所以CDE30 在正三角形 PAC 中，CD2 3，所以 CECD 2 3 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 PC 3 4 （12 分） 解法 2： 【教育部考试中心试题分析解法 2】 （1）同解法 1 （2）在平面 ABC 内作 MDAC，垂足为 D，连接 OB 由（1）知 PO平面 ABC，故 POOB 又 ACOB， 所以 OB平面 PAC， 从而 MD平面 PAC 在平面 PAC 内作 DEPA，垂足为 E，连接 ME 由 DEPA，MDPA，得 MEPA 从而DEM 是二面角 MPAC 的平面角 因为二面角 MPAC 为 30 ，所以DEM30 ，于是 DCDM 3 3 DE，DE 3 2 AD 3 2 (4DC) 解得 DC4 3，AD 8 3从而PAM 面积为 SPAD cos30 1 2 8 32 3 2 3 16 3 设点 C 到平面 PAM 距离为 d，用两种方法计算三棱锥 CPAM 的体积得 1 3 1 24 4 32 3 1 3 16 3 d，解得 d 3 P A B M C O E D P A B M C O D E 页 7 第 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 PC 3 4 （12 分） 解法 3： 【教育部考试中心试题分析解法 3】 （1）同解法 1 （2）如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 由已知得 O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2 3)，AP (0，2，2 3) 取平面 PAC 的法向量为OB (2，0，0) 设 M(a，2a，0)( 0a2)，则AM (a，4a，0) 设平面 PAM 的法向量为 n(x， y，z) 由AP n0，AM n0 得 2y2 3z0， ax(4a)y0，可取 n( 3(a4)， 3a，a)， 所以 cosOB ，n 2 3(a4) 2 3(a4) 23 a 2a 2 由已知得|cosOB ，n | 3 2 ，所以 2 3(a4) 2 3(a4) 23 a 2a 2 3 2 ，解得 a4（舍去） ，a4 3 ， 所以 n(8 3 3 ，4 3 3 ，4 3) 又PC (0，2，2 3)，所以 cosPC ，n 3 4 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 （12 分） 20解： （1）圆 O1的圆心为(1，0)，半径为 2 2，点 F 在圆 O1内，故圆 O2与圆 O1相内切 设圆 O2的半径为 r，则|O2F|r，| O2O1|2 2r，从而| O2O1|O2F|2 2 因为|FF |22 2，所以曲线 C 是以点 F (1，0)，F (1，0)为焦点的椭圆 由 a 2，c1，得 b1，故 C 的方程为x 2 2y 21 （6 分） （2）设 l：yxt，M(x1，y1)， N(x2，y2)，则 D(0，t)， |DM|(x10)2(y1t)2 2| x1|， |DN| (x20)2(y2t)2 2| x2| 页 8 第 yxt 与x 2 2y 21 联立得 3x24tx2t220 当8(3t2)0 时，即 3t 3时， x1x22t 22 3 （8 分） 所以|DM| |DN|2|x1x2|4|t 21| 3 由（1）得 A(0，1)，A(0，1)，所以|DA| |DB| t1| | t1| t21| 等式|DM| |DN|DA| |DB|可化为4|t 21| 3 | t21| 当 3t 3且 t1 时，4 3 当 t1 时， 可以取任意实数 综上，实数 的值为4 3 （12 分） 21解： （1）f (x)定义域为(0，1) (1，)，f (x) x21 x(1x)20 因此 f (x)在(0，1)单调递增，在(1，)单调递增 （4 分） （2）曲线在 ylnx 在 xx0处切线 l 的方程为 y 1 x0 xlnx01 （6 分） 设 l 与曲线 yex相切于点(x1，e 1 x )，则 e 1 x 1 x0， e 1 x 1 x0 x1lnx01 消去 x1得1x0 1x0lnx00，即 f (x0)0 于是当且仅当 x0是 f (x)的零点时，l 是曲线 yex的切线 因