安徽省芜湖一中2020届高三上学期8月开学数学试题 含解析

2019-2020学年安徽省芜湖一中高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1设全集，2，3，4，集合，3，则A，B，C，D，2（5分）复数的虚部是AB1CD3（5分）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于A1BC2D34（5分）直线和直线平行，则A或BC7或1D5（5分）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A关于点，对称B关于直线对称C关于点，对称D关于直线对称6（5分）已知点在以，为焦点的椭圆上，若，则该椭圆的离心率为ABCD7（5分）若、，且，则下面结论正确的是ABCD8（5分）的三个内角、所对的边分别为，则ABCD9（5分）已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为AB13C6D10（5分）在平面直角坐标系中，、，点，满足，则的最小值为A4B3CD11（5分）若，则ABCD12（5分）已知函数，若，互不相等，且（a）（b）（c），则的取值范围为AB，C，D，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知正数、满足，则的最小值为14（5分）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 15（5分）已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为16（5分）抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为3，则点的纵坐标的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17（10分）已知（1）求的最小正周期和单调递增区间（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围18（12分）已知数列的前项和为正整数）（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，求19（12分）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上（）求证：平面平面；（）求与平面所成角的正弦的最大值20（12分）为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图（已知高一年级共有1200名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”基础年级高三合计优秀非优秀合计3000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：21（12分）已知椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程22（12分）已知函数（1）求函数在，上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围2019-2020学年安徽省芜湖一中高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，2，3，4，集合，3，则A，B，C，D，【解答】解：，3，3，则，3，3，故选：2（5分）复数的虚部是AB1CD【解答】解：，复数的虚部是故选：3（5分）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于A1BC2D3【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，由，得：解得：，故选：4（5分）直线和直线平行，则A或BC7或1D【解答】解：直线和直线平行，解得故选：5（5分）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A关于点，对称B关于直线对称C关于点，对称D关于直线对称【解答】解：，；，其对称中心为：，故，不符合；其对称轴方程由得：，当时，就是它的一条对称轴，故选：6（5分）已知点在以，为焦点的椭圆上，若，则该椭圆的离心率为ABCD【解答】解：由，可知为直角三角形，又，可得，联立，解得：，由，得，即故选：7（5分）若、，且，则下面结论正确的是ABCD【解答】解：是偶函数且在上递增，皆为非负数，故选：8（5分）的三个内角、所对的边分别为，则ABCD【解答】解：中，根据正弦定理，得，可得，得，可得故选：9（5分）已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为AB13C6D【解答】解：，且，向量与的夹角为，且，解得：故选：10（5分）在平面直角坐标系中，、，点，满足，则的最小值为A4B3CD【解答】解：、，点且；由，得，化简得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为故选：11（5分）若，则ABCD【解答】解：，函数在上为增函数，故，故错误；函数在上为减函数，故，故，即；故错误；，且，即，即故错误；，故，即，即，故正确；故选：12（5分）已知函数，若，互不相等，且（a）（b）（c），则的取值范围为AB，C，D，【解答】解：函数，若，互不相等，且（a）（b）（c），如图，不妨，由已知条件可知：，令（b），由，故为减区间，的取值范围是：故选：二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知正数、满足，则的最小值为【解答】解：根据约束条件画出可行域化成直线过点时，最小值是，的最小值是，故答案为14（5分）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于【解答】解：，时，曲线在点处的切线方程为，即令，可得，令，可得，三角形的面积等于故答案为：15（5分）已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为【解答】解：设三棱锥的棱长为，则底面外接圆的半径为，三棱锥的高为，正三棱锥的4个顶点都在同一球面上，如图所示；且球的半径为，则，解得或，三棱锥的棱长为，则该三棱锥的表面积为故答案为：16（5分）抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为3，则点的纵坐标的最小值为【解答】解：设直线的方程为，联立，化为，由题意可得，中点的纵坐标:故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17（10分）已知（1）求的最小正周期和单调递增区间（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围【解答】解：（1）由题意可知：，的最小正周期为，由，得，单调增区间为，；（2），的取值范围是，的取值范围是，18（12分）已知数列的前项和为正整数）（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，求【解答】解：（）在中，令，可得，即（1分）当时，（2分），即，即当时，又，数列是首项和公差均为1的等差数列（4分）于是，（6分）（）由（）得（7分）由得（9分）（12分）19（12分）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上（）求证：平面平面；（）求与平面所成角的正弦的最大值【解答】解：证明：由题意，是二面角的平面角；又二面角是直二面角，又，平面，又平面，平面平面；由知，平面，是与平面所成的角；在中，；当最小时，最大，此时，垂足为，由三角形的面积相等，得，解得，与平面所成角的正弦的最大值为20（12分）为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图（已知高一年级共有1200名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”基础年级高三合计优秀非优秀合计3000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：【解答】解：（1）该校学生每周平均体育运动时间为；（3分）样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为：（人；又样本中高一的人数有120人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为（人；（6分）（2）由题意填写列联表如下：基础年级高三合计优秀10530135非优秀10560165合计21090300（8分）假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，则，又，所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关” （12分）21（12分）已知椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程【解答】解：（1）椭圆过点，离心率为，可得解得所以（2）斜率不存在时，不满足斜率存在设为，过的直线方程为：，即，联立直线方程与椭圆方程，即，消去得，恒成立，由韦达定理可得，所以，解得，所以直线的方程22