2020届江西省新余市高三第一学期期末试卷数学（理科）

第 1 页，共 17 页 2019-2020 学年江西省新余市高三（上）期末学年江西省新余市高三（上）期末试卷试卷 数学数学（理科）（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知全集 U=R， 集合 A=x|x （x-2） 0， B=-1， 0， 1， 2， 3， 则 （ UA） B= （ ） A. -1 B. -1，3 C. 1，2，3 D. -1，0，2，3 2. 复数 z满足 ，则复数 z 的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一孙子算经 中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 九十四足， 问鸡兔各有几何？设计如图的算法来解决这个 问题，则判断框中应填人的是（ ） A. m94？ B. m=94？ C. m=35？ D. m35？ 4. 函数 f（x）=x2+e|x|的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若 x，y 满足 x+1yx，则 y-2x 的最大值是（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 6. 设 a=log43，b=log86，c=2 0.1，则（ ） A. abc B. bac C. cab D. cba 7. 函数 的最小正周期是 3，则其图象向左平移 个单位长 度后得到的函数的一条对称轴是（ ） 第 2 页，共 17 页 A. B. C. D. 8. 已知三棱锥 P-ABC的四个顶点都在球 O 的表面上，侧棱 PA、PB、PC 两两垂直， 且 PA=PB=PC=2，若以 P为球心且 1 为半径的球与三棱锥 P-ABC公共部分的体积 为 V1，球 O的体积为 V2，则 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 今年 4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步 解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的 5名专家对石柱 县的 3 个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专 家安排在不同乡镇的概率为 A. B. C. D. 10. 已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1、F2，过原点的直线 与双曲线 C交于 A，B两点，若AF2B=60 ，ABF2的面积为，则双曲线的 渐近线方程为（ ） A. y= B. y= 2x C. y= D. y= 11. 在ABC中， 角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 已知， 且点 O满足 = ，2asinCcosB=asinA-bsinB+，则ABC 的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 f（x）= x2+a（x0），g（x）=lnx（x0），其中 aR若 f（x） 的图象在点 A（x1，f（x1）处的切线与 g（x）的图象在点 B（x2，g（x2）处的 切线重合，则 a 的取值范围是（ ） A. （-1+ln2，+） B. （-1-ln2，+） C. D. （ln2-ln3，+） 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390里，则该男子的第三日走的里数 为_ 14. 在（1+x）（1+2x）5的展开式中，x4的系数为_ （用数字作答） 15. 若 tan=3，则的值为_ 16. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线 反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物 线 y2=2px（p0），如图，一平行 x 轴的光线射向抛物 线上的点 P，经过抛物线的焦点 F 反射后射向抛物线上 的点 Q，再反射后又沿平行 x轴方向射出，若两平行光 线间的最小距离为 6，则此抛物线的方程为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 第 3 页，共 17 页 17. 已知an是首项为 1 的等比数列，各项均为正数，且 a2+a3=12 （1）求数列an的通项公式； （）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 Sn 18. 如图所示， 在四棱锥P-ABCD中， 平面PAD平面ABCD， ADBC，AB=BC=PA=1，AD=2， PAD=DAB=ABC=90 ， 点E在棱PC上， 且CE=CP （01） （1）求证：CDAE （2）是否存在实数 ，使得二面角 C-AE-D 的余弦值为？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由 19. 为庆祝党的 98 岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识 竞赛从参加竞赛的学生中，随机抽取 40 名学生，将其成绩分为六段70，75）， 75，80），80，85），85，90），90，95），95，100，得到如图所示的频率 分布直方图 （1）求图中 a 的值及样本的中位数与众数； （2） 若从竞赛成绩在70， 75） 与95， 100两个分数段的学生中随机选取两名学生， 设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于 5分为事件 M，求事件 M发生的概 率 （3）为了激励同学们的学习热情，现评出一二三等奖，得分在95，100内的为一 等奖，得分在90，95）内的为二等奖，得分在85，90）内的为三等奖若将频率 视为概率，现从考生中随机抽取三名，设 为获得三等奖的人数，求 的分布列与 数学期望 第 4 页，共 17 页 20. 已知椭圆 C： + =1（ab0）过点 A（2，0），离心率为 ，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 P，Q，R为椭圆 C上的三点，OQ 与 PR 交于点 M，且=3，当 PR 的 中点恰为点 M时，判断OPR的面积是否为常数，并说明理由 21. 已知函数 f（x）=xex-1-a（x+lnx），aR （1）若 f（x）存在极小值，求实数 a 的取值范围； （2）设 x0是 f（x）的极小值点，且 f（x0）0，证明：f（x0）2（x02-x03） 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数），直 线 C2的普通方程为 y= 以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C2与曲线 C1交于 A，B两点，求 第 5 页，共 17 页 23. 已知，且 .证明： （1）； （2）. 第 6 页，共 17 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：A=0，2， UA=（-，0）（2，+）， （UA）B=-1，3 故选：B 求出 A，再求补集，交集 本题考查集合交并补的运算，属于基础题 2.【答案】A 【解析】解：， ， ，其虚部为 故选：A 把已知等式变形， 再由复数代数形式的乘除运算化简， 然后利用共轭复数的概念得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3.【答案】B 【解析】解：由题意知：i为鸡的数量，j为兔的数量，m 为足的数量， 根据题意，在程序框图中，当计算足的数量为 94 时，算法结束 因此判断框中应填入“m=94” 故选：B Bi为鸡的数量，j为兔的数量，m为足的数量，根据题意可得判断条件 本题主要考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于 基础题目 4.【答案】C 【解析】解：因为对于任意的 xR，f（x）=x2+e|x|0恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）=02+e|0|=1，则排除 D， 故选：C 由 f（x）0 恒成立，可排除 AB，由 f（0）=1，可排除 D，由此得到正确选项 本题考查由函数解析式确定函数图象，考查读图识图能力，解决这类题的一般方法是从 单调性，奇偶性，特殊点等角度，运用排除法求解，属于基础题 5.【答案】A 第 7 页，共 17 页 【解析】解：作出实数 x，y 满足不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 令 z=-2x+y，则 y=2x+z，由图可知当直线 y=2x 过点 A（2，2）时，z最大， 即-2x+y 取最大值为-4+2=-2， 故选：A 作出 x，y满足的可行域，利用 z的几何意义即可解答 本题主要考查线性规划的应用，利用 z的几何意义，利用结合数形结合是解决本题的关 键属于基础题 6.【答案】D 【解析】解：由指数函数 y=2x在 R 上单调递增，得 20.120，即 c1， 由对数函数 y=log4x，y=log8x 在（0，+）上单调递增，得：log41log43log44，log81 log86log88，即 0a1，0b1， c最大， 又a=log43= log23=log2，b=log86=3log26=log2 ，且， ab， cba， 故选：D 先利用指数函数、对数函数单调性得出，c1，0a1，0b1，只需再比较 a与 b 的大小，再把 a与 b 化为同底数的对数，利用对数函数的单调性即可比较出 a 与 b 的大 小关系 本题主要考查了对数值大小的比较，是基础题 7.【答案】D 【解析】解：函数的最小正周期是 3， 则：， 解得：= ， 所以：， 其图象向左平移 个单位长度后得到的函数， 第 8 页，共 17 页 g（x）=4sin（）=4sin（） 令：（kZ）， 解得：x=（kZ）， 当 k=1时， 解得：x=， 故选：D 直接利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出结果 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考察 学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 8.【答案】B 【解析】解：根据题意，球 O 的半径为=， 所以 V2=4， 而 V1= 13= ， 则 =， 故选：B 根据条件可知球 O 的直径为三棱锥 P-ABC 所在长方体的体对角线，进而求出球 O 的体 积 V2，半径为 1 的球与三棱锥 P-ABC 公共部分的体积为该球体积的八分之一，进而可 求出 V1 本题考查立体几何球体积计算公式， 考查外接球体积公式等知识， 考查了空间想象能力， 考查了计算能力，属于中档题 9.【答案】A 【解析】 解： 依题意， 5名专家所有的安排方式可以分为三个乡镇的专家数分别为 3， 1， 1 和 2，2，1 两类， 所以所有的安排方法共有+=150 种， 甲、乙两名专家安排在同一乡镇的方法有+=36 种， 所以甲、乙两名专家安排在不同乡镇的方法共有 150-36=114种， 所以甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为 P= 故选：A 计算出所有的安排方法，以及甲乙安排在同一乡镇的方法，即可得到甲、乙两名专家安 排在不同乡镇的概率 本题考查分步、分类计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题 10.【答案】D 第 9 页，共 17 页 【解析】【分析】 本题考查了双曲线的定义和性质，渐近线方程求 法，余弦定理的简单应用，属于中档题 连接 AF1，BF1，则四边形 AF2BF1为平行四边形； 根据双曲线定义及ABF2的面积求得|BF1|， |BF2 |， 再在BF1F2中应用余弦定理即可求得 a，c 的关 系，进而利用双曲线中 a，b，c 的关系求得渐近 线方程 【解答】 解：根据题意，连接 AF1，BF1，则四边形 AF2BF1为平行四边形， 设|AF2|=x，则|BF1|=x，|BF2|=x+2a， ABF2的面积为a2，AF2B=60 ， a2= x（x+2a） ，化简得 x2+2ax-4a2=0， 解得 x=（-1）a，或 x=（-1）a（舍）， 所以|BF2|=（+1）a， 在BF1F2中，|F2F1|=2c，由余弦定理可得：4c2 =（-1）2a2+（ +1）2a2-2（ +1） （-1）a2（- ）， 化简可得 c2=4a2，由双曲线中 c2=a2+b2， 可得 b2=3a2，即 = ， 所以渐近线方程为 y=x 故选：D 11.【答案】D 【解析】解：由， 可得，即 又，所以 b=4 因为= ， 所以点 O 为ABC 的重心， 所以=3， 所以=3， 两边平方得，=-6|cosCAO+， 因为， 所以，=-6|+， 于是-9|-4=0， 所以|= ，AOC 的面积为 = 第 10 页，共 17 页 因为ABC 的面积是AOC面积的 3倍故ABC的面积为 故选：D 由已知结合余弦定理可求 b，然后结合重心的性质及向量数量积的性质可求 AO，然后 根据三角形的面积公式可求 本题主要考查了余弦定理， 三角形重心的性质及向量数量积的性质及三角形的面积公式 的应用，属于中档试题 12.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利 用导数求最值，是较难题 由题意知，x10x2，分别求出函数 f（x）在点 A处的切线方程与 g（x）在点 B 处的 切线方程， 整理后由斜率相等且在y轴上的截距相等可得a=lnx2 + （ ） 2-1=-ln + （ ） 2-1，令 t= ，则 t0，且 a=t2-t-lnt ，然后利用导数求 h（t）=t2-t-lnt的最小值，则 答案可求 【解答】 解：由题意知，x10x2， 当 x10 时，函数 f（x）在点 A（x1，f（x1）处的切线方程为 y-（ x 1 2+ x 1+a）=（ x1+ ）（x-x1）； 当 x20 时，函数 g（x）在点 B（x2，g（x2）处的切线方程为 y-lnx 2= （x-x2） 两直线重合的充要条件是 = x1+ ，lnx2-1=- x12+a， 得 a=lnx2+（）2-1=-ln +（ ）2-1， 令 t= ，由及 x10x2知，则 0t ，且 a=t2-t-lnt ， 设 h（t）=t2-t-lnt（0t ）， 则 h（t）=2t-1- = =， 当 t（0， ）时，h（t）0，h（t）在（0， ）为减函数， 则 h（t）h（ ）=ln2-1，又 t0 时，h（t）+ aln2-1， 则 a的取值范围是（ln2-1，+） 故选：A 13.【答案】120 【解析】解：由题意可得，每天走的路程是等差数列， 且， 第 11 页，共 17 页 即 解得， 所以 a3=a1+2d=120 故答案为：120 由题意可得，每天走的路程是等差数列，结合已知条件及等差数列的通项公式及求和公 式可求首项及公差，即可求解 本题主要考查等差数列的应用， 根据等差数列建立条件关系求出公差是解决本题的关键 14.【答案】160 【解析】解：在（1+x）（1+2x）5的展开式中： 当第一个因式取 1时，则后一个因式取含 x4的项为 24 x 4=80 x4； 当第一个因式取 x时，则后一个因式取含 x3的项为 23 x 3=80 x3； 所以展开式中 x4的系数为：80+80=160 故答案为：160 根据（1+x）（1+2x）5的展开式中，含 x4的项是第一个因式取 1和 x时，后一个因式 应取 x4和 x3项，求出它们的系数和即可 本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题目 15.【答案】- 【解析】解：由于 tan=3， 所以= ， 所以= 故答案为：- 直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16.【答案】y2=6x 【解析】解：由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点 F（ ，0）， 当直线 PQ斜率不存在时，易得|PQ|=2p； 当直线 PQ斜率存在时，设 PQ的方程为 y=k（x- ），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由得：k2（x2-px+ ）=2px，整理得 4k2x2-（4k2p+8p）x+k2p2=0， 第 12 页，共 17 页 所以 x1+x2=，x1x2= ， 所以|PQ|=x1+x2+p=2p； 综上，当直线 PQ 与 x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为 6，故 2p=6， 抛物线方程为 y2=6x 故答案为：y2=6x 先由题意得到 PQ 必过抛物线的焦点，设出直线 PQ的方程，联立直线 PQ与抛物线方 程，表示出弦长，得出 PQ的最小值，进而可求出 p 的值，得出抛物线方程 本题主要考查直线与抛物线位置关系， 通常需要联立直线与抛物线方程， 结合韦达定理、 弦长公式等求解，属于常考题型 17.【答案】解：（）设an的公比为 q，（q0） 由 a2+a3=12得 q+q2=12， 解得 q=3 或 q=-4（舍去）， 则 an=3 n-1， （）bn= = （ -）， 前 n项和 Sn= （1- + - + - + +-+ - ） = （1+ -） = - 【解析】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，方程思想和 运算能力，属于基础题 （）设an的公比为 q，（q0），由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可 得到所求通项公式； （）求得 bn= （ - ），运用数列的裂项相消求和，化简可得所 求和 18.【答案】解：（1）证明：过点 C作 CFAB交 AD 于点 F， AB=BC=1，AD=2，DAB=ABC=90 ， 四边形 ABCF 为正方形，且 AF=FD=1，AC= 在 RtCFD 中，CD=，在ACD 中，CD2+AC2=4=AD2，CDAC PAD=90 ，PAAD， 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，PA 平面 PAD， PA平面 ABCD，PACD PA，AC 平面 PAC，且 PAAC=A，CD平面 PAC， 又 AE 平面 PAC，CDAE （2）由题知，PA，AB，AD两两垂直， 以点 A为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，如 图所示， 第 13 页，共 17 页 则 A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），=（-1，1，0）， =（0，2，0） 假设存在实数 （01），使得二面角 C-AE-D的余弦值为， 设 E（x，y，z），=，（x-1，y-1，z）=（-1，-1，1）， E（1-，1-，），则=（1-，1-，） CD平面 PAC，平面 AEC 的一个法向量为 =（-1，1，0） 设平面 AED 的法向量为 =（a，b，c）， 则即， 令 c=1，则 a=，b=0， = （-，0，1-）， 0，可取 =（-，0，1-）， =，化简得 32-8+4=0， （0，1），= (=2舍去）， 存在实数 = ，使得二面角 C-AE-D的余弦值为 【解析】（1） 过点 C作 CFAB交 AD于点 F， 推导出四边形 ABCF为正方形， CDAC， PAAD， 从而 PA平面 ABCD， PACD 进而 CD平面 PAC， 由此能证明 CDAE （2）以点 A为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出存在实数 = ，使得二面角 C-AE-D的余弦值为 本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.【答案】解：（1）由题意，5 （0.01+0.02+0.04+0.05+a+0.02）=1，解得 a=0.06； 样本众数是 =87.5， 第 14 页，共 17 页 设样本中位数为 b，5 （0.01+0.02+0.04）=0.350.5， 5 （0.01+0.02+0.04+0.06）=0.650， 85b90， 令 5 （0.01+0.02+0.04）+（b-85） 0.06=0.5，解得 b=87.5， 样本的中位数是 87.5 （2）成绩在70，75）的人数为 40 0.01 5=2，成绩在95，100的人数为 40 0.02 5=4， 故从此 6人中随机抽取 2人，抽取的 2人在同一分数段的概率为 1-= 事件 M发生的概率为 （3）从考生中抽取 1人，此生获得三等奖的概率为 0.06 5=0.3， 故 服从二项分布 B（3，0.3）， 故 P（=0）=0.73=0.343，P（=1）=0.30.72=0.441，P（=2）= 0.320.7=0.189， P（=3）=0.33=0.027 故 的分布列为： 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 E（）=3 0.3=0.9 【解析】（1）根据小矩形面积之和等于 1 列方程求出 a，根据中位数定义估计中位数 的范围，再列方程计算中位数，最高矩形的组中值为众数； （2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率即可； （3）根据二项分布的概率公式求出分布列和数学期望 本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，属于中档题 20.【答案】解：（1）由已知易得，b2=a2-c2=2， 故椭圆 C 的标准方程为： （2）若点 Q是椭圆的右顶点（左顶点一样），则 Q（2，0），M 在线 段 OQ上，此时 PRx 轴，求得 ， OPR的面积等于 若点 Q 不是椭圆的左、 右顶点， 则设直线 PR 的方程为： y=kx+m （m0） ， P （x1， y1） ， R（x2，y2）， 由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0， 则， PR 的中点 M的坐标为， 点 Q的坐标为， 第 15 页，共 17 页 将其代入椭圆方程，化简得= 点 O到直线 PR的距离， OPR的面积 综上可知，OPR 的面积为常数 【解析】（1）直接由离心率及 a 值和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2） 对 Q是否是椭圆的顶点讨论， 由向量之间的关系及 M是 PR的中点可得 Q的坐标， 代入椭圆得参数的关系，求出弦长 PR 及 O到弦的距离，求面积可得为定值 考查直线与椭圆的综合应用，所以中难题 21.【答案】解：（1）函数 f（x）=xex-1-a（x+lnx），aR 令 g（x）=xex-1-a， 则 g（x）=（x+1）ex-10， g（x）在（0，+）上是增函数 又当 x0 时，g（x）-a，当 x+时，g（x）+ 当 a0时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在区间（0，+）上是增函数，不 存在极值点； 当 a0时，g（x）的值域为（-a，+），必存在 x00，使 g（x0）=0 当 x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增； f（x）存在极小值点 综上可知实数 a 的取值范围是（0，+） 证明：（2）由（1）知-a=0，即 a= lna=lnx0+x0-1， f（x0）=（1-x0-lnx0） 由 f（x0）0，得 1-x0-lnx00 令 g（x）=1-x-lnx，由题意 g（x）在区间（0，+）上单调递减 又 g（1）=0，由 f（x0）0，得 0x01， 令 H（x）=x-lnx-1，（x0），则 H（x）=1- =，