2020届广西名校高三上学期12月高考模拟数学（理）试题（解析版）

2020届广西名校高三上学期12月高考模拟数学（理）试题一、单选题1已知集合，则P的非空子集的个数是（ ）A7B15C63D64【答案】C【解析】根据求解中元素的个数,再根据包含个元素的集合的非空子集的个数是计算即可.【详解】解：集合,共6个元素,故P的非空子集的个数为故选C【点睛】本题主要考查了集合运算以及包含个元素的集合的非空子集个数,属于基础题型.2定义运算，若，则复数对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】试题分析：，所以复数对应的点在第二象限，选B.【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【答案】C【解析】由题意,根据同比与环比的意义分析即可.【详解】解：由图中的数据可知：A,B,D三项判断都正确；对C2019年全国居民消费价格同比涨幅最大是9月和10月,错误故选C【点睛】本题主要考查了图表的分析与理解,属于基础题型.4的展开式中的系数为（ ）A320B300C280D260【答案】B【解析】展开式的通项为：，则：，据此可得：的系数为.本题选择B选项.5我国明代伟大数学家程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ）A0.9升B1升C1.1升D2.1升【答案】B【解析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】依题意得，故，即，解得，故升.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A B C6 D【答案】C【解析】由题可得立体图形：则, 所以最长棱为6点睛：考察三视图7已知函数，则的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，排除B选项.由于，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.8如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( )A？B？C？D？【答案】B【解析】程序运行结果为,执行程序,当时,判断条件成立,当时,判断条件不成立,输出,即可选出答案.【详解】根据程序框图,运行如下:初始,判断条件成立,得到,;判断条件成立,得到,;判断条件成立,得到,;判断条件成立,得到,;判断条件成立,得到,;判断条件不成立,输出,退出循环,即符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.9已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：， 本题正确选项：【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.10过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )ABCD【答案】C【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），b=2a，【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质11已知函数满足，且当时，成立，若，则a，b，c的大小关系是()AaBCDc【答案】C【解析】根据题意，构造函数h（x）xf（x），则ah（20.6），bh（ln2），c（）f（）h（3），分析可得h（x）为奇函数且在（，0）上为减函数，进而分析可得h（x）在（0，+）上为减函数，分析有0ln2120.6，结合函数的单调性分析可得答案【详解】解：根据题意，令h（x）xf（x），h（x）（x）f（x）xf（x）h（x），则h（x）为奇函数；当x（，0）时，h（x）f（x）+xf（x）0，则h（x）在（，0）上为减函数，又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+）上为减函数，所以h（x）在R上为减函数，a（20.6）f（20.6）h（20.6），b（ln2）f（ln2）h（ln2），c（）f（）h（）h（3），因为0ln2120.6，则有；故选：C【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）xf（x），并分析h（x）的奇偶性与单调性12已知半径为2的扇形AOB中，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且，则的最大值为（ ）A2BCD【答案】C【解析】根据等和线性质,利用平行线的方法,求半径2与到的距离的比值即可.【详解】由题有面积,又由余弦定理.故.故到的距离满足.故的最大值为 故选：C【点睛】本题主要考查与有关的等和线问题,求出所在的位置对应的的值即可.属于中等题型.二、填空题13已知向量，若，则的最小值_【答案】【解析】由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【详解】，即，当且仅当时取等号，的最小值是故答案为【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14若数列的首项，且；令，则_【答案】【解析】试题分析：由可知，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，所以，因此【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式构造数列是以为首项， 为公比的等比数列.据此得到数列的通项公式，根据对数运算得到是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前项和公式求解.15在锐角中，则_【答案】【解析】,因为,(舍)，由,.16在三棱锥中，面面， 则三棱锥的外接球的表面积是_【答案】【解析】【详解】解：如图，设AC中点为M，VA中点为N，面VAC面ABC，BABC，过M作面ABC的垂线，球心O必在该垂线上，连接ON，则ONAV在RtOMA中，AM1，OAM60，OA2，即三棱锥VABC的外接球的半径为2，三棱锥VABC的外接球的表面积S4R216故答案为16三、解答题17已知数列的前n项和，其中（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】(1)利用与的关系求得,再证明与求解首项和公比即可.(2)根据,代入(1)中所求的通项公式求解即可.【详解】解：（1）,当时,两式相减,得,即,即,即,（）,是等比数列,公比,当时,即,；（2）若,则,即,则,得【点睛】本题主要考查了利用数列与的关系证明等比数列的方法,同时也考查了数列求和的有关问题,属于中等题型.18为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）最后该公司共收回份评分表，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求个样本数据的中位数；（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”请根据个样本数据，完成下面列联表：根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）81；（2）有的把握认为“认定类型”与性别有关，见解析【解析】（1）个数字，中位数为从小到大排序的第和第数的平均数，可求得结果；（2）将数据代入公式可求得，可知，对比概率表格可知有的把握认为二者相关；通过分层抽样确定男性和女性的人数，得到所有可能的取值，根据超几何分布得到分布列，从而根据数学期望的公式求得结果.【详解】（1）由茎叶图可知：（2）因为，所以由茎叶图值，女性试用者评分不小于的有个，男性试用者评分不小于的有个，根据题意得列联表：满意型需改进型合计女性男性合计由于查表得：所以有的把握认为“认定类型”与性别有关由知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性名，男性名的所有可能取值为，则，所以的分布列如下：所以的数学期望为：【点睛】本题考查茎叶图、独立性检验、超几何分布、随机变量的数学期望的求解，关键在于能够确定随机变量符合超几何分布，然后通过公式求得对应概率.19如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥的体积；（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由【答案】（1）当Q是中点时，直线，DC，AP交于一点，理由详见解析；（2）；（3）存在点Q，且点Q为的中点.【解析】(1)画出辅助线延长AP交DC于M,连结交于点Q,利用相似三角形证明即可.(2)换顶点求解三棱锥的体积即可.(3)以D为原点建立合适的空间直角坐标系,设,再利用线面夹角的向量解法求出即可.【详解】解：（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,Q是中点（2）V棱锥棱锥（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系则,设面的法向量为,则取,即设与面所成角为则化简得解得或（舍去）所以存在点Q,且点Q为的中点【点睛】本题主要考查了空间中线与线相交的问题,同时也考查了利用建系解决空间中线面角的问题,属于中等题型.20如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 设,OT与x轴正方向夹角为,写出轨迹的参数方程,再化简成直角坐标方程即可.(2)根据两圆上共有6个点到直线l的距离为,利用圆的位置关系转换为原点O至直线l的距离,进而求得的取值范围,再联立直线与椭圆表达出,利用的取值范围求解的取值范围即可.【详解】设,OT与x轴正方向夹角为,则即化简得,即P点的轨迹E的方程为（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为时,原点O至直线l的距离,即,解得联立方程得设,则,则【点睛】本题主要考查了轨迹问题的求法以及椭圆中的弦长范围问题,需要根据题意建立不等式求斜率的范围,再联立方程求弦长的表达式,再代入斜率的范围求解即可.属于中等题型.21已知函数.（）若时，求的最小值；（）设数列的通项，证明：.【答案】（）（）见解析【解析】（）由已知，.若，则当时，所以.若，则当时，所以当时，.综上，的最小值是.（）证明：令.由（）知，当时，即.取，则.于是.所以.（1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式进而构造达到证明不等式的目的.【考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和利用构造法证明不等式的解题能力.22已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线l：（t为参数）与曲线E交于A，B两点，（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；【答案】（1）-2；（2）.【解析】(1)求出曲线C的参数方程,再代入,利用辅助角公式求最值即可.(2)利用伸缩变换求曲线E的直角坐标方程,再利用直线参数方程中的几何意义,联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求解即