北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题 含解析

20192020学年临川学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Mx|x2x0，Nx|x2，则MN（）Ax|x0Bx|1x2Cx|x0或1x2Dx|0x12（5分）复数的虚部是（）ABCD3（5分）x0，使2x+xa0，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1Da14（5分）设向量，满足+（3，1），1，则|（）A2BC2D5（5分）设an为等差数列，a122，Sn为其前n项和，若S10S13，则公差d（）A2B1C1D26（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）ABCD7（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）ABC8D48（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）ABCD9（5分）将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为（）ABCD10（5分）若函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调递减，则（）A1B2C3D411（5分）已知点P在圆x2+y24上，A（2，0），B（2，0），M为BP中点，则sinBAM的最大值为（）ABCD12（5分）已知f（x）（exa）（3ax+1），若f（x）0（xR）成立，则满足条件的a的个数是（）A0B1C2D3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为 14（5分）已知函数，则不等式f（x）1的解集为 15（5分）已知Sn是数列an的前n项和，Sn22an+1，若，则S5 16（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SAAB，M为SA的中点设直线MC与平面SAB所成角为，则sin的最大值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17（12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，A60，M为AD上一点，AM2MD2，BMC60（1）若MCD为等腰三角形，求BC；（2）设DCM，若MB4MC，求tan18（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，O为BC中点，C1O底面ABC，点M在线段BB1上，且C1MBB1（1）证明：A1MBB1；（2）若ACBC，MBMB1，求二面角CA1MC1的余弦值19（12分）近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如表：年份2008200920102011201220132014201520162017年份序号x12345678910工业增加值y13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值5.520.682.5211.52129.6（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y（万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数yevx，其拟合指数R20.93；研究人员乙采用函数ymxn，其拟合指数R20.95；研究人员丙采用线性函数ybx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好（注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2r2）（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数，20（12分）已知椭圆，离心率，过点M（1，1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点当lx轴时，（1）求椭圆C的方程；（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）在极坐标系中，直线，圆C：4sin以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值23已知f（x）|x+1|+|x1|1（1）解不等式f（x）x+1；（2）证明：3f（x）f（2x） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Mx|x2x0，Nx|x2，则MN（）Ax|x0Bx|1x2Cx|x0或1x2Dx|0x1【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|x2x0x|x0或x1，Nx|x2，MNx|x0或1x2故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）复数的虚部是（）ABCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，复数的虚部是故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）x0，使2x+xa0，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1Da1【分析】x0使2x+xa0，等价于a（2x+x）min，求出2x+x在x0，+）上的最小值即可【解答】解：x0，使2x+xa0，等价于a（2x+x）min，设f（x）2x+x，x0，+），则函数f（x）在x0，+）上是单调增函数，所以f（x）f（0）1，所以a的取值范围是a1故选：B【点评】本题考查了存在量词与特称命题的应用问题，是基础题4（5分）设向量，满足+（3，1），1，则|（）A2BC2D【分析】配方变形得|，再代入已知可得【解答】解：|故选：B【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题，5（5分）设an为等差数列，a122，Sn为其前n项和，若S10S13，则公差d（）A2B1C1D2【分析】根据等差数列的求和公式即可求出【解答】解：S10S13，a122，1022+d1322+d，解得d2，故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题6（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）ABCD【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案【解答】解：展开式的通项为Tr+1（1）r22r6C6rx3r令3r2得r1所以项展开式中，x2的系数为故选：C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题7（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）ABC8D4【分析】由三视图知该四棱锥是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，截去一个同底等高的三棱锥所得部分，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解答】解：由三视图可知，该四棱锥是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，截去一个同底等高的三棱锥所得部分，如图所示；所以该四棱锥PABCD的体积为V222222故选：A【点评】本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题8（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）ABCD【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x，准线方程与双曲线的渐近线方程yx，联立解得y，可得|AB|，ABF为等边三角形，可得p，即有，则e故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题9（5分）将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n20，甲、乙被分在不同组中包含的基本事件个数m12，由此能求出甲、乙被分在不同组中的概率【解答】解：将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，基本事件总数n20，甲、乙被分在不同组中包含的基本事件个数m12，甲、乙被分在不同组中的概率为p故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）若函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调递减，则（）A1B2C3D4【分析】由题意利用正弦函数的单调性以及图象的对称性，可得+k，kZ，且 ，+，由此求得的值【解答】解：函数 的图象关于点对称，+k，kZf（x）在上单调递减，x+，+，且+，求得3，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题11（5分）已知点P在圆x2+y24上，A（2，0），B（2，0），M为BP中点，则sinBAM的最大值为（）ABCD【分析】设 P（2cos，2sin），则M（1+cos，sin）先求出AM的斜率的最大值，在得出sinNAM的最大值【解答】解：设 P（2cos，2sin），则M（1+cos，sin），tanBAM，sinBAM，故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题12（5分）已知f（x）（exa）（3ax+1），若f（x）0（xR）成立，则满足条件的a的个数是（）A0B1C2D3【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：当a0，当a0，当a0，再利用导数研究函数的解得个数得：设（a）alna，则（a）1+lna由导数的应用可得：（a）alna在（0，）为减函数，在（，+）为增函数，则（a）min，即lna有两解，综合得解【解答】解：当a0时，f（x）ex00，满足题意，当a0时，exa0，x0（，+），3ax+10，故f（x）0（xR）不恒成立，当a0时，设g（x）exa，h（x）3ax+1，令g（x）exa0，得xlna，h（x）3ax+10，得x，设（a）alna，则（a）1+lna由导数的应用可得：（a）alna在（0，）为减函数，在（，+）为增函数，则（a）min，即lna有两解，又g（x）exa，h（x）3ax+1均为增函数，所以存在2个a使得f（x）0（xR）成立，综合得：满足条件的a的个数是3个，故选：D【点评】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由zx+2y，得yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+的截距最大，此时z最大由，得A（0，1），此时z的最大值为z0+212，故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14（5分）已知函数，则不等式f（x）1的解集为（1，e1）【分析】分段求解x的范围即可；【解答】解：函数，不等式f（x）1，即或解得：1x0或0xe1不等式f（x）1的解集为：（1，e1）故答案为：（1，e1）【点评】本题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题15（5分）已知Sn是数列an的前n项和，Sn22an+1，若，则S5【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的前5项，然后求解数列的和【解答】解：Sn是数列an的前n项和，Sn22an+1，若，可得a122a21，a1+a222a31，解得a3，a1+a2+a322a41+，a4，a1+a2+a3+a422a51+，a5，则S5故答案为：【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力16（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SAAB，M为SA的中点设直线MC与平面SAB所成角为，则sin的最大值为【分析】作CEAB，由面面垂直的性质可知CE垂直平面SAB，即得，通过设AEx，引进函数，利用不等式可得最值【解答】解：如图，不妨设SAAB2，作CEAB于E，易知CE平面SAB，EMC即为MC与平面SAB所成角，sin，设AEx，（0x2），由余弦定理可得ME由相交弦定理可得CE，MCsin，当且仅当x+1即x时，取等号故答案为：【点评】此题考查了直线与平面所成角，函数与不等式等，难度适中三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17（12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，A60，M为AD上一点，AM2MD2，BMC60（1）若MCD为等腰三角形，求BC；（2）设DCM，若MB4MC，求tan【分析】（1）由题意利用三角形的边角关系求得MC和MB的值，再利用余弦定理求得BC的值；（2）根据题意利用正弦定理求得MC、MB的值，利用MB4MC列方程求出sin、cos的关系，从而求出tan的值【解答】解：（1）由ABCD，A60，可得D120，又MCD为等腰三角形，所以DMCDCM30，从而MCMD，AMB90，所以MB2；在MBC中，由余弦定理得，BC2BM2+MC22BMMCcosBMC12+3229，所以BC3；（2）因为DCM，所以ABM60，060，在MCD中，由正弦定理得MC；在MAB中，由正弦定理得MB，由MB4MC，得，即2sin（60）sin，化简得cos2sin，求得tan【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题18（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，O为BC中点，C1O底面ABC，点M在线段BB1上，且C1MBB1（1）证明：A1MBB1；（2）若ACBC，MBMB1，求二面角CA1MC1的余弦值【分析】（1）可得ACBB1且C1MBB1可证明B1B面A1C1M，即可得A1MBB1；（2）以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用两个面的法向量求解【解答】解：（1）证明：C1O面ABC，而AC面ABC，C1OAC，（1分）又ACBC，C1OBCO，（3分）AC面BCC1B1，B1B面BB1C1C，ACBB1ACA1C1，BB1A1C1，且C1MBB1且C1MA1C1，B1B面A1C1M，A1MBB1；（2），以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由O为BC中点，MBMB1，C1OBC，C1MBB1知CC1C1BC1B1，C1CB，C1BB1为等比三角形，设ACBC2，则C（0，1，0），A（2，1，0），B（0，1，0），B1（0，2，），C1（0，0，）M（0，），设面角A1MC1的法向量为，（2，1，）设面A1CM的法向量为，cos，二面角CA1MC1的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用19（12分）近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如表：年份2008200920102011201220132014201520162017年份序号x12345678910工业增加值y13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值5.520.682.5211.52129.6（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y（万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数yevx，其拟合指数R20.93；研究人员乙采用函数ymxn，其拟合指数R20.95；研究人员丙采用线性函数ybx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好（注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2r2）（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数，【分析】（1）根据相关数据求出r的值，求出R2的值即可；（2）求出相关系数，从而求出回归方程；（3）分别求出y的预报值，判断即可【解答】解：（1）r0.981，R2r20.962，R2越大，拟合效果越好，故丙的拟合效果最好；（2）1.571，20.65.511.96，故回归方程是：1.57x+11.96；（3）从2008年开始计数，2018年是第11年，其工业增加值y的预报值1.5711+11.9629.2330，2019年是第12年，其工业增加值y的预报值1.5712+11.9630.8030，故预测到2019年工业增加值能突破30万亿元大关【点评】本题考查了拟合指数，考查回归方程以及函数求值，是一道常规题20（12分）已知椭圆，离心率，过点M（1，1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点当lx轴时，（1）求椭圆C的方程；（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值【分析】（1）先由离心率得出a2b，由对称性得出点在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆C的方程，求出b和a的值，从而可得出椭圆C的方程；（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论当直线l与x轴垂直时，求出点A、B的坐标，再利用斜率公式求出kNA+kNB的值；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k（x+1），并设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并代入韦达定理计算出kNA+kNB的值，结合证明出结论【解答】解：（1）由于椭圆C的离心率为，所以，a2b，则椭圆C的方程为，由于当lx轴时，所以，点在椭圆C上，将点的坐标代入椭圆方程得，解得b1，则a2b2，因此，椭圆C的方程为；（2）当直线l与x轴垂直时，设点、，点N的坐标为（0，1），此时，；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1k（x1），即ykxk1，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（4k2+1）x28k（k+1）x+4k（k+2）0，由韦达定理得，所以，综上所述，kNA+kNB为定值2【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程与几何性质，同时也考查了韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x1）+f（x2）alna2a2+3a，令g（a）alna2a2+3a，根据函数的单调性求出其最大值即可【解答】解：（1）f（x）x4a+（a0），（i）当0a时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，（ii）当a时，f（x）0的根为x12a，x22a+，故f（x）在（0，2a），（2a+，+）递增，在（2a，2a+，+）递减；（2）由（1）得a，x12a，x22a+，故x1+x24a，x1x2a，故f（x1）+f（x2）（+）4a（x1+x2）+alnx1x2+6a2+4aalna2a2+3a，令g（a）alna2a2+3a，g（a）lna4a+4，令h（a）lna4a+4，h（a）4，a，h（a）0，故h（a）在（，+）递减，又h（1）0，从而a（，1）时，h（a）0，g（a）0，g（a）递增，a（1，+）时，h（a）0，g（a）0，g（a）递减，故a1时，g（a）取最大值1，故f（x1）+f（x2）的最大值是1【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（10分）在极坐标系中，直线，圆C：4sin以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化的规则，以及直角坐标方程与参数方程转化规则易得直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，故可用点到直