2020届广东省广州市高三12月调研测试数学理试题

2020 届广州市高三年级调研测试 理科数学 2019.12 本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔在答 题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不 按以上要求作答无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1如图 1，已知全集 U=Z，集合 A2，1，0，1，2，集合 B=1，2，3，4，则图中阴影部分表示 的集合是（ ） A3，4 B2，1，0 C1，2 D2，3，4 2已知Z= i i 1 1 2 （i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 3 1 2 1 a，3log2b，6log4c，则a,b,c的大小关系为（ ） A bca B cba C cba D bca 4已知实数yx,满足 042 033 022 yx yx yx ，则yxz3的最小值为（ ） A-7 B-6 C1 D6 5某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过 考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校 的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为 m， 3 1 ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 24 1 ，至少进入一个社团的概率为 4 3 ，且mn则 nm（ ） A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 12 5 6如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2 +y2=25内的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 7已知F为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为 D，且满足OFFD 2 1 （O为坐标原点），则双曲线的离心力为（ ） A 3 32 B2 C3 D 3 10 8函数 0,sinlnxxxxxf且的大致图像是（ ） A B C D 9如图3，在ABC中，, 1,3,ADBDBCABAD则 ADAC（ ） A 3 B3 C 3 D-3 101772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为 10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表： 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此 定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测 ，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估 算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A388 B772 C1540 D3076 11已知点A,B关于坐标原点O对称，1AB，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线012y相 切，若存在定点P，使得当A运动时，MPMA 为定值，则点P的坐标为 A 4 1 0， B 2 1 0， C 4 1 0， D 2 1 0， 12已知偶函数 xf满足xfxf44，且当4 , 0x时， 2 x xexf ，若关于x的不等式 200,2000 2 在xafxf上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是 A 2 2 3 4,3ee B 2 1 2 3 ,3ee C 2 3 1 3,2ee D 2 2 1 4,ee 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13已知 3 4 4 tan0 ，则cossin_. 14若 n x x 1 3展开式的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数 项的值是_. 15已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为 6 125 ， 三视图如图3所示，则其侧视图的面积为_. 16在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为cba,，记ABC 的面积为S，且 222 24cba，则 2 a S 的最大值为_. 三三解答题：共解答题：共 70 分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第 1321 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12分）已知 n a为单调递增的等差数列，18 52 aa，80 43 aa，设数列 n b满足 422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb， Nn. （1）求数列 n a的通项；（2）求数列 n b的前n项和 n S. 18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是变成为2的菱形，ABC=60，平面 AEFC平面 ABCD， EFAC，AE=AB,AC=2EF. （1）求证：平面BED平面 AEFC； （2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EAAC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。 19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月 1800元/人， 设每月每人配送的单数为 X， 若 X1， 300，每单提成 3 元，若 X（300，600），每单提成 4 元，若 X（600，+），每单提成 4.5 元，B 公司配送员底薪是每月 2100 元，设每月配送单数为 Y，若 Y1，400，每单提成 3 元， 若 Y（400，+），每单提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之间选择一份配送员工作，他随机 调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：A公司配送员甲送餐量统计 日送餐量x（单） 13 14 16 17 18 20 天数 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送员乙送餐量统计 日送餐量x（单） 11 13 14 15 16 18 天数 4 5 12 3 5 1 （1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当 X=Y 且 X，Y300，600 时，比较f（X）与g（Y）的大小关系 （2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率 （i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y） （ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 20.（12分）已知椭圆01 3 2 2 2 a y a x C：的右焦点F到左顶点的距离为3. （1）求椭圆C的方程； （2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上），若OBOAOE,延 长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值. 21.（12分）已知函数 .ln 2 xkxxxf （1）讨论函数 xf的单调性； （2）若函数 xf有两个极值点 21,x x，证明： .2 4 1 11 kxfxf 页 5 第 （二）选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 。 22.（10分）【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 m my m mx 1 1 （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐 标方程为. 03cossin3 （1）求曲线C和直线l的直角坐标系方程； （2）已知1 , 0P直线l与曲线C相交于A,B两点，求 PBPA 11 的值 23. 【选修45：不等式选讲】（10分） 已知 .22axxxaxxf （1）当2a时，求不等式 0xf的解集； （2）若ax,时， 0xf ，求 a的取值范围. 页 6 第 参考答案 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1如图 1，已知全集 U=Z，集合 A2，1，0，1，2，集合 B=1，2，3，4，则图中阴影部分表示 的集合是（ ） A3，4 B2，1，0 C1，2 D2，3，4 答案答案：A 2已知Z= i i 1 1 2 （i为虚数单位）,在复平面内，复数Z对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案答案：C 3已知 3 1 2 1 a，3log2b，6log4c，则a,b,c的大小关系为（ ） A bca B cba C cba D bca 答案答案：D 4已知实数yx,满足 042 033 022 yx yx yx ，则yxz3的最小值为（ ） A-7 B-6 C1 D6 答案答案：A 5某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过 考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校 的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为 m， 3 1 ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 24 1 ，至少进入一个社团的概率 为 4 3 ，且mn则nm（ ） A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 12 5 答案答案：A 6如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2 +y2=25内的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 页 7 第 答案答案：B 7、 已知F为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足OFFD 2 1 （O为坐标原点），则双曲线的离心力为（ ） A 3 32 B2 C3 D 3 10 答案答案：A 8函数 0,sinlnxxxxxf且的大致图像是（ ） A B C D 答案答案：D 9如图3，在ABC中，, 1,3,ADBDBCABAD则 ADAC（ ） A 3 B3 C 3 D-3 答案答案：A 101772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为 10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表： 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此 定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测 ，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。请你根据这个定则，估 算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A388 B772 C1540 D3076 答案答案：B 页 8 第 11已知点A,B关于坐标原点O对称，1AB，以M为圆心的圆过A,B两点，且与直线012y相 切，若存在定点P，使得当A运动时，MPMA 为定值，则点P的坐标为 A 4 1 0， B 2 1 0， C 4 1 0， D 2 1 0， 答案答案：C 12已知偶函数 xf满足xfxf44，且当4 , 0x时， 2 x xexf ，若关于x的不等式 200,2000 2 在xafxf上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是 A 2 2 3 4,3ee B 2 1 2 3 ,3ee C 2 3 1 3,2ee D 2 2 1 4,ee 答案答案：D 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13已知 3 4 4 tan0 ，则cossin_. 答案答案： 4 2 5 14若 n x x 1 3展开式的二项式系数之和是 64，则展开式中的常数 项的值是_. 答案答案：135 15已知某三棱锥的侧棱长大雨底边长，其外接球体积为 6 125 ， 三视图如图3所示，则其侧视图的面积为_. 答案答案：6 16在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为cba,，记ABC的面积为S，且 222 24cba， 则 2 a S 的最大值为_. 答案答案： 10 6 17.（12分）已知 n a为单调递增的等差数列，18 52 aa，80 43 aa，设数列 n b满足 422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb， Nn. 页 9 第 （2）求数列 n a的通项；（2）求数列 n b的前n项和 n S. 解解： （1） 3425 18aaaa，又80 43 aa 数列是递增的，解得： 34 810aa ， 所以，公差d2，首项 1 a4，所以，22 n an （2）422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb 1 231 1231 222224 n an n bbbb L n2 -得：3 2n n b ，n2， n1 时， 1 b6 也满足上式， 所以，3 2n n b ， 数列 n b是以 6 为首项，2 为公式的等比数列， 1 6(1 2 ) 3 26 1 2 n n n S 18.（12分）如图5，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，平面 AEFC平面 ABCD， EFAC，AE=AB,AC=2EF. （1）求证：平面BED平面 AEFC； （2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EAAC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。 解解： （1）平面 AEFC平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCDAC， 菱形 ABCD 中，BDAC， 所以，BD平面 AEFC， 又 BD平面 BED，所以，平面 BED平面 AEFC （2）平面 AEFC平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCDAC， EAAC，所以，EA平面 ABCD， 直角梯形中，AC2EF，设 AC 交 BD 于 O，连结 FO，则有 AOEF，AOEF， 所以，AOFE 为平行四边形，所以 OFEA， 页 10 第 所以，FO平面 ABCD， 菱形 ABCD 中，ABC=60，所以，三角形 ABC 为等边三角形， 设 OC1，则 OFAEAB2，OBOD3， B（3，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（3，0，0）， BC uuu r （3，1，0），BF uuu r （3，0，2）， 设平面 BCF 的法向量为( , , )mx y z u r ， 则 30 320 xy xz ，令2x ，可得：m u r （2,23，3）， 同理可求得平面 DCF 的法向量n r （2,23，3）， 求得二面角 B-FC-D 的余弦值为 11 9 - 11 - 19.（12分）某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若 X1， 300，每单提成 3 元，若 X（300，600），每单提成 4 元，若 X（600，+），每单提成 4.5 元，B 公司配送员底薪是每月 2100 元，设每月配送单数为 Y，若 Y1，400，每单提成 3 元， 若 Y（400，+），每单提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之间选择一份配送员工作，他随机 调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：A公司配送员甲送餐量统计 日送餐量x（单） 13 14 16 17 18 20 天数 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送员乙送餐量统计 日送餐量x（单） 11 13 14 15 16 18 天数 4 5 12 3 5 1 （1）设A公司配送员月工资为f（X），B公司配送员月工资为g（Y），当 X=Y 且 X，Y300，600 时，比较f（X）与g（Y）的大小关系 （2）将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率 （i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y） （ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 解解：(1) X=Y 且 X，Y300，600, 所以，g（Y）g（X）， 当 X（300，400时， f（X）g（Y）f（X）g（X）（18004X）（21003X）X3000， 当 X（400，600时， f（X）g（Y）f（X）g（X）（18004X）（21004X）3000， 当 X（300，400时，f（X）g（Y） 当 X（400，600时，f（X）g（Y） （2）（i）送餐量 X 的分布列为： X 13 14 16 17 18 20 P 1 15 1 5 2 5 1 5 1 15 1 15 送餐量 Y 的分布列为： Y 11 13 14 15 16 18 P 2 15 1 6 2 5 1 10 1 6 1 30 则 E（X）16，E（Y）14 - 12 - 20.（12分）已知椭圆01 3 2 2 2 a y a x