2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学（理）试题

1 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 理科数学理科数学 2020.1 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1已知全集UR， |21 x Ax，则 UA ( ) A1x x B1x x C0x x D0x x 2设i为虚数单位，复数 2 13 22 zi ，则z在复平面内对应的点在第( )象限 A一 B二 C三 D四 3已知 2020 1 log a ， 2020 1 b ， 1 2020c ，则( ) Acab Bacb Cb ac Dabc 4在直角坐标系xOy中，已知角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 终边落在直线3yx上，则 3 sin(2 ) 2 = ( ) A 4 5 B 4 5 C 3 5 D 1 2 5在平行四边形ABCD中，ABa uuu rr ，ADb uuu rr ，4AMMC uuuu ruuu u r ，P为AD的中点， 则MP uuu r = ( ) A 43 510 ab rr B 43 54 ab rr C 43 510 ab rr D 13 44 ab rr 6设aR，则“2a ”是“直线 1: 250lxay与直线 2: 420laxy平行” 的 ( ) 条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 7数列 n a：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学 家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列” 。该数列从第 3 项开始，每项等 2 页 于其前相邻两项之和， 即 21nnn aaa 记该数列 n a的前n项和为 n S， 则下列结论正确的是( ) A 20192020 2Sa B 20192021 2Sa C 20192020 1Sa D 20192021 1Sa 8 易经是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦） ， 每一卦由三根线组成（ “”表示一根阳线， “ ”表示一根阴线） 。从八 卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( ) A 1 14 B 1 7 C 5 28 D 5 14 9函数 2 1sin 1 x f xx e 的图象的大致形状是( ) A B C D 10如图，平面过正方体的顶点 A，平面平面平面，则 m、n 所成角的 正弦值为( ) A 1 2 B 1 2 C 3 3 D 3 2 11已知 F 为抛物线的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴的两 侧， 其中 O 为坐标原点，则与面积之和的最小值是( ) A2 B3 C17 2 8 D 12已知函数满足， 且在上有最小值，无最大值。给出下述四个结论： ； 若，则； 的最小正周期为 3； 在上的零点个数最少为 1346 个 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D x y O x y O x y O x y O m n 3 页 二二、填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第15题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。 4 页 0n 开始 结束 2nn n输出 220? n 是 否 5 页 13执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是_ 14若， 则的值是_ 15设数列的前 n 项和为，若， ，则_，_ 16已知双曲线 1: C 22 22 1(00) xy ab ab ，的离心率2e ，左、右焦点分别为 12 FF、，其中 2 F也是 抛物线 2 2: 20Cypx p的焦点， 1 C与 2 C在第一象限的公共点为P若直线 1 PF斜率为 3 4 ，则 双曲线离心率e的值是_ 三三、解答题：共解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必题为必考题，每个考生都必 须作答。第须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17（本小题满分 12 分） 在平面四边形ABCD中， 3 ABC， 2 ADC，2BC （1）若ABC的面积为 3 3 2 ，求AC； （2）若2 3AD ， 3 ACBACD ， 求tanACD 18（本小题满分 12 分） 如图，等腰梯形 ABCD 中，E 为 CD 中点，以 AE 为折痕把折起，使点 D 到达点 P 的位置平面 （1）证明：； B D C A 6 页 （2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 4 ，求二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分） 为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。惠州 市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一 年级学生中抽取了 100 人进行调查。 （1）已知在被抽取的学生中高一班学生有 6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 6 名学生中随机抽 取 3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率； （2） 该研究性学习小组在调查中发现， 对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中 获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取 2 人进行跟踪调查，记选中 的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为， 求随机变量的分布列及数学期望。 班级 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 市级 比赛获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 20 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知过点的直线l与椭圆 2 2 :1 4 x Cy交于不同的两点，其中. （1）若，求的面积； （2）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形。 21（本题满分 12 分） 7 页 已知实数0a ，设函数 eaxf xax （1）求函数 fx的单调区间； （2）当 1 2 a 时，若对任意的1,x ，均有 2 1 2 a f xx， 求a的取值范围。 注：e2.71828L L为自然对数的底数。 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题，则按所做的第一题计分。答题 时请写清题号并将相应信息点涂黑。时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极 坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点 1, A ， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上 （1）求证： 123 3； （2）若过B，C两点的直线参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 求四边形OBAC的面积 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 24f xxx （1）求不等式 3f xx的解集； （2）若 1f xk x对任意Rx恒成立，求k的取值范围 8 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 一、一、选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D A C A D D A D B C 1.【解析】 210 x Axx x，0 U C Ax x，故选 D. 2.【解析】 2 1313 ii 2222 z （） ，所以z对应的点在第二象限，故选 B. 3.【解析】 2020 1 log a 2020 log10， 2020 1 b 01， 1 2020c 1，所以abc.故选 D. 4.【解析】因为角 终边落在直线3yx上，所以tan3， 2 1 cos 10 ， 所以 3 sin(2 ) 2 2 4 cos2(2cos1). 5 故选 A. 5.【解析】如图所示，1 2 4 5 1 2 4 5() 1 2 b r 4 5 (a r b r ) 4 5 a r 3 10 b r .故选 C. 6.【解析】依题意，知 4 a 1 2a ，且 5 2a 1 2 ，解得 a2.故选 A. 7.【解析】 1233243546521 ()()()()() nnnn Saaaaaaaaaaaaaa LL 222 1 nn aaa ，所以 20192021 1Sa，故选 D. 8.【解析】 11 33 2 8 15 . 14 C C P C 故选 D. 9.【解析】 2 1sin 1 x f xx e 1 sin 1 x x e x e 是偶函数，排除 C、D，又(1)0,fQ故选 A. 10.【解析】如图：面，面，面，可知，因为是正三角形，mn、所成角为 60 则 m、n 所成角的正弦值为故选 D 11.【解析】设直线 AB 的方程为：，点,， 直线 AB 与 x 轴的交点为， 9 页 由，根据韦达定理有, ， 结合及，得，点 A、B 位于 x 轴的两侧， ，故不妨令点 A 在 x 轴上方，则,又, 当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是 3故选 B 12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确。 若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故错误。 不妨令，两式相减得, 即函数的周期，故正确。 区间的长度恰好为 673 个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故错误。 故正确的是，故选 C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第15题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。 13、6 14、3 15、 1（2 分） ； 分） ；121（3 分）分） 16、47 13.【解析】 2 2,220;n 4 4,220;n 6 6,220.n 故答案为 6. 14.【解析】令0 x ，得 0 1a ，令，则所以 128 3.aaa L 15.【解析】由时，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得， 16.【解析】因为 2 F是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以 2 p c ， 解得2pc，所以抛物线的方程为： 2 4ycx ； 由 1 12 3 tan 4 PF kPFF ， 12 4 cos 5 PFF ， 如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设 0 (P x， 0) y， 则 200 2 p PMPFxxc ， 10 1 5 () cos4 PM PFxc MPF 由 12 2PFPFa ，可得 000 5 ()()28 4 xcxcaxac 在 12 PFF中， 20 8PFxca ， 12 210PFPFaa ， 12 2FFc ， 由余弦定理得 222 211211212 2cosPFPFFFPF FFPFF 即 222 4 (8 )(10 )(2 )2 102 5 aacac ，化简得 2 540450ee 10 页 47e ，又2e ，47e 故答案为47 三、解答题：共三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必题为必考题，每个考生都必 须作答。第须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （本小题满分 12 分） 【解析】【解析】 （1）在ABC中，因为2BC ， 3 ABC， 13 3 sin 22 ABC SAB BCABC ，1 分 所以 33 3 22 AB ，解得3AB 2 分 在ABC中，由余弦定理得 222 2cos7ACABBCAB BCABC，4 分 因为0AC ，所以7AC 5 分 （2）设ACD，则 33 ACBACD 6 分 在Rt ACD中，因为2 3AD ，所以 2 3 sinsin AD AC 7 分 在ABC中， 3 BACACBABC， 8 分 由正弦定理得 sinsin BCAC BACABC ，即 22 3 3 sin() sin 3 2 ，9 分 所以2sin()sin 3 ，所以 31 2(cossin)sin 22 ， 10 分 即3cos2sin， 11 分 所以 3 tan 2 ，即 3 tan 2 ACD 12 分 11 页 18.（本小题满分 12 分） 【解析】【解析】 （1）证明：连接 BD，设 AE 的中点为 O， 四边形 ABCE 为平行四边形，1 分 ，为等边三角形，2 分 又，平面 POB，平面 POB 3 分【注】无写出此步骤不得分。【注】无写出此步骤不得分。 平面 POB 4 分 又平面 POB， 5 分 （2） 【解法一】向量法 在平面 POB 内作平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，又， 、Q 两点重合，即平面 ABCE, 6 分 【注】无证明此得分点不给分。【注】无证明此得分点不给分。 以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则 0,，0,，0,，7 分 设平面 PCE 的一个法向量为 y,，则，即, 8 分 令，得 9 分 又平面 PAE，1,为平面 PAE 的一个法向量 10 分 设二面角为，则 11 分 易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12 分 【解法二】几何法 在平面 POB 内作平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，又， 、Q 两点重合，即平面 ABCE，6 分 【注】无证明此得分点不给分。【注】无证明此得分点不给分。 过点 C 作 CHAE 交于点 H，连结 PH，则二面角 A-PE-C 与二面角 H-PE-C 互为补角。 又因为 CHPO，所以 CH面 PAE， 过 H 作 HFPE 交于点 F，连结 CF，由三垂线定理知 CFPE 所以CFH 为二面角 H-PE-C 的平面角。7 分 在 RtCHE 中，CEH=60，CE=1，所以 HE=，CE=，8 分 在 RtHFE 中，FEH=60，HE=，所以 HF=9 分 F 12 页 在 RtCHF 中，由勾股定理知 CF=10 分 故 cosCFH= 11 分 所以二面角的余弦值为12 分 19.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 【解法一】 记事件从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣， ，1，2， ； 则与互斥1 分 故所求概率为2 分 3 分 ；4 分 【解法二】记事件从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣， ，1，2， ； 则与互斥1 分 故所求概率为2 分 3 分 ；4 分 （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有 0，1，2，3；5 分 6 分 7 分 8 分 9 分 则的分布列为： 0 1 2 3 p 10 分 【注】无列表此得分点不得分。【注】无列表此得分点不得分。 数学期望为 12 分 20.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）当时，代入椭圆方程可得或 1 分 若，此时直线 l：2 分 13 页 联立 22 440 44 xy xy ，消 x 整理可得3 分 解得或 2 3 5 y ，故 B 4 分 所以的面积为 . 5 分 ，由对称性知的面积也是 4 5 ， 综上可知，当时，的面积为 4 5 .6 分 （2） 【解法一】显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l： 7 分 联立，消去 x 整理得 由，得8 分 则， ,9 分 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 所以10 分 设，则, 即, 解得. 11 分 故 x 轴上存在定点，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形12 分 【解法二】显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：(4)yk x 7 分 联立 22 (4) 440 yk x xy ，消去y整理得 2222 (1 4)326440kxk xk 由 2222 ( 32)4(1 4)(644)0kkk ，得 2 1 12 k ,8 分 则 2 12 2 32 14 k xx k ， 2 12 2 64-4 1 4 k x x k ,9 分 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以10 分 设，则 1212 1212 (4)(4) TATB yyk xk x kk xtxtxtxt 1212 12 2(4)()8 ()() x xtxxt k xt xt 14 页 即 1212 2(4)()80 x xtxxt， 222 222 128-8 (4)328t32 -0 1 41 41 4 ktktk kkk 解得. 11 分 故 x 轴上存在定点，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形12 分 21（本题满分 12 分） 【解析】 （1） 【解法一】由( )(1)=0 axax fxa eaa e，解得0 x 1 分 若0a ，则当(0,)x时，( )0fx，故( )f x的单调递增区间为(0,)； 当(,0)x 时，( )0fx，故( )f x的单调递减区间为(,0)2 分 若0a ，则当(0,)x时，( )0fx，故( )f x的单调递增区间为(0,)； 当(,0)x 时，( )0fx，故( )f x的单调递减区间为(,0)3 分 综上所述，( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)4 分 【解法二】令,)(tetg t 其中axt . 1)( t etg令，0)( tg得0.t 当时，)0 ,(t，0)( tg）上单调递减；在（0 ,)(tg 当时，)0(t，0)( tg.0)(）上单调递增，在（tg 1 分 又当0a时，axt 在 R 上单调递增； 当0a时，axt 在 R 上单调递减。2 分 由复合函数单调性知， 0a时，( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)； 0a 时， ( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) 3 分 综上所述，( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)4 分。 （2） 2 ( )(1) 2 a f xx ，即 2 (1) 2 ax a ex（） 令0 x ，得1 2 a ，则 1 2 2 a 5 分 当1x 时，不等式（）显然成立， 当( 1,)x 时，两边取对数，即2ln(1)ln 2 a axx恒成立 6 分 15 页 令函数( )2ln(1)ln 2 a F xxax，即( )0F x 在( 1,) 内恒成立7 分 由 22(1) ( )=0 11 a x F xa xx ，得 2 11x a 故当 2 ( 1,1)x a 时，( )0F x，( )F x单调递增； 当 2 (1+ )x a ，时，( )0F x，( )F x单调递减. 8 分 因此 22 ( )(1)2ln2ln2ln 22 aa F xFaa aa 9 分 令函数( )2ln 2 a g aa，其中 1 2 2 a， 则 11 ( )10 a g a aa ，得1a ， 故当 1 ( ,1) 2 a时，( )0g a，( )g a单调递减； 当(1,2a时，( )0g a，( )g a单调递增 10 分 又 13 ( )ln40 22 g，(2)0g， 故当 1 2 2 a时，( )0g a 恒成立，因此( )0F x 恒成立， 11 分 综上知：当 1 ,2 2 a 时，对任意的 1,)x ，均有 2 ( )(1) 2 a f xx成立12 分 22.（本小题满分 10 分） 【解析】 （1） 【解法 1】由 1 2cos， 2 2cos 6 ， 3 2cos 6 ，3 分 则 23 2cos2cos 66 2 3cos 4 分 所以 123 35 分 【解法 2】M的直角坐标方程为 2 2 11xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx， 2 yk x， 3 yk x， 3, 3k ， 由点到直线距离公式可知 2 1 k MF k 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知 2 2 1 1 +1 2 MF ，得 1 2 2 1k 2 分 16 页 由直线方程可知tank， 2 tan+ 6 k ， 3 tan 6 k 所以 2 tan +tan 3 +1 6 = 3 1 tantan 6 k k k ，得 2 2 3 1 k k 3 分 所以 3 tan -tan 31 6 = 3 1 tantan 6 k k k ，得 3 2 3 1 k k 4 分 所以 123 35 分 （2） 【解法一】曲线M的普通