绍兴市柯桥区2019学年第一学期高三数学期末试题参考答案

2019 学年第一学期学年第一学期期末期末教学质量检测教学质量检测 高三数学高三数学参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A B A C B A A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 3 2 i+ ； 12 15 15 、 2 3 ； 13 1 2 、 5 9 ； 14 3 10 10 、2 5 153； 16 16 3 8 3 +、 16 3 3 173 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。 18解： （1） 2 333 ()sin()2 3sin 4234 f = 2 1 cos2 3sin3 342 = = 6 分 （2） 1 cos2 ( )sin2 coscos2 sin2 3 332 x f xxx = 8 分 13 sin2cos23 22 xx=+sin(2)3 3 x =+， 10 分 所以( )f x 的最小正周期为T=， 12 分 由222 232 kxk +得， 5 1212 kxk +， 所以函数( )f x的递增区间是 5 ,() 1212 kkkz + 14 分 19解： （1）因为平面ABD平面BCD，且BCBD，所以BC 平面ABD， 所以BCAD， 3 分 又由于EAEBED=，所以ADBC， 所以AD平面ABC，所以ADAC.7 分 （2）取BE中点G，连接GF与CE 相交于H，由于平面 ABD平面BCD， 且AGBD， 所以AG 平面BCD， H G F A E BD C 所以AGCE， 又GFCE， 所以CE 平面AFG， 所以平面ACE 平面AFG， 所以AF 在平面ACE 上的射影在直线AH上，则FAH即为AF与平面ACE 所成角.10 分 设1BC =，则 15 22 AFCD=， 2 4 HFGH=， 22 14 4 AHAGGH=+=， 由余弦定理可得： 222 4 70 cos 235 AHAFHF FAH AH AF + = . 14 分 所以AF与平面ACF所成角的余弦值为 4 70 35 15 分 20解： （1）设首项为 1 a ，公差为d，则 1 11 3 462(41) ad adad += +=+ ， 解得 1 1,2ad= =，故21 n an=+， 3 分 由 11nnn bT T + =，得 1 11 1 nn TT + = ， 1 1T = ，所以 1 n n T = ，即 1 n T n = ， 所以 1 1 (2) (1) nnn bTTn n n = ，故 1,1 1 ,2, (1) n n b n n n = = 7 分 （2）由（1）知(21) n cnn=，用数学归纳法： 12 2 (21) 4 n cccnn+ 当1n = 时，左边=1，右边= 3 2 4 ，不等式成立， 8 分 假设nk= 时成立，即 12 2 (21) 4 k ccckk+， 9 分 则当1nk=+时， 21 2 (21)(1)(21) 4 kk cccckkkk + + 21 (21)4 (1)() 42 kkkk=+ 2 231 (21)4 422 kkkk=+ 11 分 22 231 24 () 4416 kkk=+ 2 2 (243) 4 kkk+ 2 (1)(23) 4 kk=+ 13 分 即当1nk=+ 时，不等式也成立 14 分 由，可知，不等式 12 2 (1) 2 n cccn n+对任意 * nN都成立 15 分 21解： （1） 2 2 yx xpy = = ，解得两交点为(0,0)，(2 ,2 )pp. 2 分 所以 22 (20)(20)2pp+=， 1 2 p =. 4 分 （2）设点 2 11 ( ,)A x x， 2 22 (,)B x x，( , )Q m n.切线 2 11 :2QA yx xx=， 2 22 :2QB yx xx=， 由题设知 2 11 2nx mx=， 2 22 2nx mx=， 5 分 即 1 x， 2 x是方程 2 20 xmxn+=的两根，于是 12 2xxm+=， 12 x xn=. 7 分 故直线:20ABmxyn=.又因为直线AB经过点(0,3)， 所以3n =,即点Q的纵坐标为3 . 9 分 由题设知 2 APB =,即0PA PB=220mn+ +=. 11 分 则 22 |2m1|4 +6| |2m|4 PAB QAB Snn Snnn = + ， 若460n+，令23(0)tnt= ， 2 881 25 6252 6 PAB QAB St Stt t t = + + ， 12 分 若460n+，令230tn=+ ， 2 88 2 25 625 6 PAB QAB St Stt t t = + + ， 14 分 当且仅当5,1tn=时，等号成立，此时点Q的坐标为 3 (,1) 2 15 分 22解： （1）当2a =时， 2 ( )22 x fxe=+， 2 分 由于(0)0 f =，且函数( )fx单调递增， 所以当0 x时，( )0fx，当0 x 时，( )0fx， 4 分 故函数的单调递减区间是(,0)，递增区间是(0,)+ 5 分 （2）令0 x =，得2a ，所以 11 2 2 a 6 分 因为 22 ( )(1)(2)1 222 ax aaa f xxexx+， 令 2 ( )(2) 22 ax aa g xexx=+，则 22 2 ( )(2) 22 ax aa g xxaxe=+， 8 分 由 22 2 20 22 aa xax+=，解得 2 0 15a x a =， 9 分 故( )g x在 0 (,)x单调递增，在 0 (,0)x单调递减， 所以 2 0 2 15 max00 215 ( )()() axa a gxg xx ee aa + =， 10 分 下面证明当 11 2 2 a时， 2 2 15 15 1 a a e a + ，即 2 2 51 15 a a e a + ， 令 2 3 5(1, ) 2 ta=，即证 1 2 1 5 t t e t + ， 2 11 5 t t e e t + ， 令 2 1 ( ) 5 t t h te t +