2020届四川省成都石室中学高三11月半期考试数学（文）试题

1 第 石室中学十一月份半期考试石室中学十一月份半期考试 数学（文科）数学（文科） （时间（时间：120 分钟分钟 满分满分：150 分）分） 第（第（）卷（选择题，共）卷（选择题，共 6 60 0 分）分） 一选择题一选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个正确选项. 1已知i为虚数单位，复数 2 1 i z i ，则| | z （ ） A2 B2 C5 D2 2 2已知集合 |(1)(2)0Axxx， |1| 2Bx x ，则ABI=（ ） A( 3,1) B( 3,2) C( 1,1) D( 1,2) 3双曲线 22 22 1 (0,0) xy ab ab 的渐近线方程为2yx ，则双曲线的离心率为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 5 2 D5 4曲线sinyxx在点(,) 2 2 处的切线方程为（ ） A 0 xy B0 xy C240 xy D2430 xy 5已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若/ / ,mn，则 / /mn B若, ，则/ / C若/ / ,/ /mn，且,mn，则/ / D若,mn，且，则mn 6ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，则“coscosaAbB”是“AB”的（ ）条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分与不必要条件 7若变量 x、y 满足约束条件 240 220 10 xy xy y ，则 22 zxy的最小值为（ ） A 4 5 B1 C 2 5 5 D 5 4 2 第 8要得到函数( )sin(2) 4 f xx 的图象，可将函数( )cos2g xx的图象（ ） A向左平移 4 个单位 B向左平移 8 个单位 C向右平移 4 个单位 D向右平移 8 个单位 9对于任意xR，函数( )f x满足(2)( )fxf x，且当1x时，函数( )f xlnx，若 3 2 (2)af ， 2 1 (log) 4 bf，( )cf e，则, ,a b c大小关系是（ ） A cba B cab C bca D bac 10曲线 2 ( ) 2 x k f xxe在(0,2)上存在单增区间，则k的取值范围为（ ） A( ,)e B ,)e C 2 (,) 2 e D 2 ,) 2 e 11空间四面体 ABCD 中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=11，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 （ ） A12 B14 C16 D18 12设函数 2 2 ( )ln , ( )f xxxx g xxa x ，对任意的 1 1 ,2 4 x ，存在 2 2,4x ，使 12 ()()1f xg x成 立，则实数a的取值范围是（ ） A 7 (4ln2,) 2 B 9 (,) 2 C 211 (ln2,) 48 D( 3,) 第（）卷（选择题，共第（）卷（选择题，共 6 60 0 分）分） 二填空题二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上 13已知2,1,abab与b垂直，则a与b的夹角为 . 14已知 1 cos(),(0,) 434 ，则cos2= . 15已知函数 2 21,(0) ( ) ln,(0) xxx f x xx ，若abcd，且( )( )( )( )f af bf cf d，则abcd的范 围为 . 16已知抛物线 2 6yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若 1 4 OMOB uuuruu u r ， 1 = 4 OAON uuruuu r ，过点 M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点 C，D，则CD的最小 值为 . 3 第 三解答题三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第 17 题第 21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：共 60 分. 17 （本题满分 12 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 7 127S ，且 8 a是 2 16a和 5 14a的等差中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）当 2 0a 时，令 2 2 log nnn baa，求数列 n b的前n项和 18. （本题满分 12 分）由中央电视台综合频道(1)CCTV和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年 电视公开课每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年 现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的 喜爱， 为了了解观众对节目的喜爱程度， 电视台随机调查了A、B两个地区的 100 名观众， 得到如下的22 列联表，已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，该观众是B地区当中“满意”的观众的概率为 0.15 非常满意 满意 合计 A 35 10 B x y 合计 （1）现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，则应抽取“满意”的A、B地区的人 数各是多少； （2）在（1）的条件下，从抽取到“满意”的人中随机抽取 2 人，设“抽到的观众来自不同的地区”为事 件A，求事件A的概率； （3）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 附：参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd bd ac . 4 第 19.（本题满分 12 分）如图，四棱锥中PABCD，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，90ADC， 平面PAD底面ABCD，PAPD，2ADBC，E 为 AD 中点. （1）证明：平面PBC 平面PEB； （2）若2PA，1BC ，3CD ，记PC的中点为M，求三棱 锥AMBC的体积. 20. （本小题满分 12 分） 已知动直线l垂直于x轴，与椭圆 22 1: 1 42 xy C交于,A B两点，点P在直线l上，1PA PB uur uur . （1）求点P的轨迹 2 C的方程； （2）直线 1 l与椭圆 1 C相交于,D E，与曲线 2 C相切于点M，O为坐标原点，求DEOM的取值范 围. 21（本小题满分 12 分） 已知函数 ( )ln(1)f xxa x=- （0a）. （1）若 ( )0f x ，求a的值； （2）设函数 33 ( )ln(1)g xxxm x=-的最小值为( )m，当0m时,证明：( )0m. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. . 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C参数方程为 6cos ( 4sin x y 为参数)，将曲线 1 C上所有点的横坐标 变为原来的 1 3 ，纵坐标变为原来的 1 2 ，得到曲线 2 C. 5 第 （1）求曲线 2 C的普通方程； （2）过点1,1P且倾斜角为的直线l与曲线 2 C交于, A B两点，求AB取得最小值时的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 ( ) |2|, ( )3|1f xxg xxm. （1）当0m 时，解不等式( )+ ( )5f xg x ； （2）若存在aR，使得( )3 ( )g af a，求实数m的取值范围. 6 第 石室中学石室中学十一月份半期考试十一月份半期考试 数学试卷（文科）解析数学试卷（文科）解析 （时间（时间：120 分钟分钟 满分满分：150 分）分） 一选择题一选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个正确选项. 1已知i为虚数单位，复数 2 1 i z i ，则| | (z ) A2 B2 C5 D2 2 答案：A 2已知集合 |(1)(2)0Axxx， |1| 2Bx x ，则ABI=（ ） A( 3,1) B( 3,2) C( 1,1) D( 1,2) 答案：C 3双曲线 22 22 1 (0,0) xy ab ab 的渐近线方程为2yx ，则双曲线的离心率为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 5 2 D5 答案：D 4.曲线sinyxx在点(,) 2 2 处的切线方程为（ ） A 0 xy B 0 xy C2 40 xy D2 430 xy 答案：A 5已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A若/ / ,mn，则 / /mn B若, ，则/ / C若/ / ,/ /mn，且,mn，则/ / D若,mn，且，则mn 答案：D 6ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，则“coscosaAbB”是“AB”的（ ）条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分与不必要条件 答案：B 7 第 7.若变量 x、y 满足约束条件 240 220 10 xy xy y ，则 22 zxy的最小值为（ ） A 4 5 B1 C 2 5 5 D 5 4 答案：B 8要得到函数( )sin(2) 4 f xx 的图象，可将函数( )cos2g xx的 图象( ) A向左平移 4 个单位 B向左平移 8 个单位 C向右平移 4 个单位 D向右平移 8 个单位 答案：D 9对于任意xR，函数( )f x满足(2)( )fxf x，且当1x时，函数( )f xlnx，若 3 2 (2)af ， 2 1 (log) 4 bf，( )cf e则a，b，c大小关系是( ) Acba Bcab Cbca Dbac 答案：C 10曲线 2 ( ) 2 x k f xxe在(0,2)上存在单增区间，则k的取值范围为( ) A( ,)e B ,)e C 2 (,) 2 e D 2 ,) 2 e 答案：A 11空间四面体 ABCD 中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=11，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 （ ） A12 B14 C16 D18 答案：D 12 设 函 数 2 2 ()l n,()fxxxx g xxa x ， 对 任 意 的 1 1 ,2 4 x ， 存 在 2 2 , 4 x ，使 12 ()()1f xg x成立，则实数a的取值范围是( ) A 7 (4ln2,) 2 B 9 (,) 2 C 211 (ln2,) 48 D( 3,) 答案：B 二填空题二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 z y x D B C A O CB A y x 8 第 13已知2,1,abab与b垂直，则a与b的夹角为 . 答案： 3 14已知 1 cos(),(0,) 434 ，则cos2= . 答案： 4 2 9 15已知函数 2 21,(0) ( ) ln,(0) xxx f x xx ，若abcd，且( )( )( )( )f af bf cf d，则abcd的范 围为 . 答案：1,2) 16已知抛物线 2 6yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若 1 4 OMOB uuuruu u r ， 1 = 4 OAON uuruuu r ，过点 M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点 C，D，则CD的最小 值为 . 答案：6 三解答题三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第 17 题第 21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：共 60 分. 17 【解析】 （1）由 8 a是 2 16a和 5 14a的等差中项，得 2 8 a = 2 16a+ 5 14a，即 a1q7 = 8a1q + 7a1q4， 所以 q67q38 = 0，即 33 (8)(1)0qq，解得公比2q 或1q 2 分 当2q 时，由 7 1 71 (1) 1271 1 aq Sa q ，所以 1 2n n a ； 当1q 时，由 7 1 71 (1) 127127 1 aq Sa q ，所以 1 127 ( 1)n n a ；6 分 （2）当 2 0a 时，知 -1 2n n a ， 21 2 log41 n nnn baan ， 所以数列 n b的前n项和为 (1 4 )(1)41(1) 1 4232 nn n n nn n T 12 分 18. 【解析】 （1）由题意，得：0.15 100 y ，解得15y ， 9 第 A地抽取 20 102 100 人，B地抽取 20 153 100 人 3 分 （3）从A地区抽取到 2 人，记为,A B,从B地区抽取到 3 人，记为, ,a b c,随机抽取 2 人， 所有的基本事件为( , ),( , ),( , ),( ,c),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),A BA aA bAB aB bB ca ca bb c共有 10 种情况， 事件A包含的基本事件有( , ),( , ),( ,c),( , ),( , ),( , ),A aA bAB aB bB c共 6 种情况， 所以 63 ( ) 105 P A . 7 分 （3）完成表格如下： 非常满意 满意 合计 A 35 10 45 B 40 15 55 合计 75 25 100 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd bd ac 2 100(35 1540 10)100 3.841 75 25 55 45297 ， 没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系 12 分 19【解析】 （I）QPAPD，E 为 AD 中点，PEAD. 又平面PAD底面ABCD， 且平面PADI平面ABCDAD， PE平面ABCD， PEBC. .2 分 在直角梯形ABCD中，90ADC，/AD BC，BCCD， 又2ADBC，/ /BECD， BCBE. BEPEEI，BC平面PEB， BC 平面PBC，平面PBC 平面PEB. .6 分 10 第 （II）由（I）可知，PE 平面ABCD， Q2PA，1BC ，2ADBC，3PE .8 分 在直角梯形ABCD中，90ADC，/AD BC，3CD 13 22 ABC SBC CD . 1111 2234 A MBCMABCP ABCABC VVVSPE . 12 分 20【解析】(1)设 11 ( , ), ( ,)P x y A x y，则由题知 11 ( ,)B xy， 1 xx， 11 (0,),(0,)PAyy PByy uuruur , 22 111 ()()11PA PByyyyyy uur uur ， 由 11 ( ,)A x y在椭圆 22 1: 1 42 xy C上，得 22 11 1 42 xy ，所以 22 1 1 42 xy ， 故点P的轨迹 2 C的方程为 2 2 1 2 x y； 5 分 （2）当直线 1 l的斜率不存在时，2 2DE OM； 当直线 1 l的斜率存在时，设其方程为 112200 ,( ,),(,),(,)ykxm D x yE xyM xy, 222 2 2 (21)4220 1 2 ykxm kxkmxm x y ， 22 021km ，7 分 00 2 221 21 kmk xy kmm ，所以 21 (,) k M mm ， 8 分 12 2 222 22 2 12 22 44 21 (21)4240 2441 2 42 21 kmk ykxmxx km kxkmxm xy m x x km ， 22 222 121212 22 2222 22 1 41 4 11()4 11 411 4 2 22 2 21 kk DEOMkxxkxxx x mm kkkk mk 10 分 令 2 211kt ， 22 2 2 (21)(1)11411 2 222( )2 21 ttkk DEOM kttt ，1(0,1 t ， 所以，当1 1 2t 时，即 2 1 2 k 时，DEOM取最大值3，当 1 1 t 时，即0k 时，DEOM取最小 11 第 值2 2；综上：DEOM的取值范围为2 2,3. 12 分 21【解析】(1)( )f x的定义域为(0,)+ (1 分), 1 ( )0fxa x =-=,得 1 x a =, 当 1 0,x a 骣 琪 琪 桫 时,( )0fx ,则( )f x递增;当 1 ,x a 骣 琪? 琪 桫 时,( )0fx ),且(1) 0h=, 1 ( )10h a a =-=,得1a =, 当 (0,1)a 时,( )0h a ,则( )h a递增;当(1,)a? ,则( )h a递减, 所以 max ( )( )(1)0h ah ah?=(4 分),又( )ln10h aaa=-+ , 因此,( )0h a =,此时,1a =.(5 分) （2）由（1）知,ln1xx? (当且仅当1x =时,取等号)(6 分), ( )g x的定义域为(0,)+ ,且 2222 ( )3ln3(3ln1 3 )g xxxxmxxxm =+-=+ -,(7 分) 令 ( )0g x =,得 1 3 m xe - = ,当 1 3 0, m xe -骣 琪 琪 桫 时,( )0g x ,则( )g x在 1 3, m e -骣 琪 + 琪 桫 上递增, (9 分) 于是 1 3 ( ) m mg ej -骣 琪 = 琪 桫 31 1 3 m m