2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学（文）试题

1 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 文科数学文科数学 2020.1 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1若= 0,1,2,32 ,ABy yx xA，则AB U（ ） A0,2,4,6 B0,2 C0,1,2,3,4,6 D0,1230 2 4 6, , , , , 2设i为虚数单位，复数 2 13 22 zi ，则z在复平面内对应的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 3已知数列 n a是等比数列，函数 2 =53yxx的两个零点是 15 aa、，则 3 a （ ） A1 B1 C3 D3 4 “ 110ba”是“log0 ab ”成立的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5已知圆 C： 22 40 xyxa上存在两点关于直线: =2l y kx对称，k=（ ） A1 B1 C0 D 1 2 6在ABC中， 1 = 3 ADDC uuu ruuu r ，P是直线BD上的一点，若 1 2 APmABAC uuu ruuu ruuu r ， 则m=（ ） A. 4 B. 1 C1 D4 7惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通话时间，其 中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520、530、550、610、650、660（单位：分钟） ，有 2 个月的数据 未统计出来。根据以上数据，该教师这 8 个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（ ） A580 B600 C620 D640 8已知函数( ) x x a f xe e 为偶函数，若曲线( )yf x的一条切线与直线230 xy垂直，则切点的横 2 页 坐标为（ ） A2 B2 C2ln2 Dln2 9函数 1 cossinf xxx在, 的图象大致为（ ） 10已知P为椭圆 22 1 10091 xy 上的一个动点，M、N分别为圆C： 2 2 31xy与 圆D： 2 22 3(05)xyrr上的两个动点，若PMPN的最小值为 17， 则r=（ ） A4 B3 C2 D1 x y y x - - - x y - x y A B C D 3 页 11已知函数( )sin cos(0,0) 62 a f xxx a ，对任意xR， 都有( )3f x ，若( )f x在0, 上的值域为 3 , 3 2 ，则的取值范围是（ ） A 1 1 , 6 3 B 1 2 , 3 3 C 1 , 6 D 1 ,1 2 12已知函数 32 1 ( )1(1) 3 f xxaxaxa在 1212 , ()t t tt处的导数相等， 则不等式 12 ( + )0f ttm恒成立时，实数m的取值范围是（ ） A1， B1 ， C1， D 4 3 ， 4 页 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分，其中第分，其中第16题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。 0n 开始 结束 2nn n输出 220? n 是 否 5 页 13执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是_. 14已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 若2abc，35cb，则=A_ 15如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的 直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现。 我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积 之比为_ 16设M为不等式组 40 40 0 xy xy y 所表示的平面区域， N为不等式组 04 txt yt 所表示的平面区域，其中0,4t， 在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P （1）若1t ，则P _； （2）P的最大值是_ 三三、解答题：共解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17（本小题满分 12 分） 等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 7a ，公差d为大于 0 的整数， 当且仅当n=4 时， n S取得最小值。 （1）求公差d及数列 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前 20 项和. 18（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥SABCD中，ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形， 6 页 点E是BS的中点 （1）求证：SD平面ACE； （2）若平面ABS 平面ABCD，4AB， 120ABC，求三棱锥EASD的体积 19.（本小题满分 12 分） 惠州市某商店销售某海鲜， 经理统计了春节前后 50 天该海鲜的日需求量x（1020 x， 单位： 公斤） ， 其频率分布直方图如下图所示。该海鲜每天进货 1 次，每销售 1 公斤可获利 40 元；若供大于求，剩余的 海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售 1 公斤可获利 30 元。假设商店该海鲜每天的进货量为 14 公斤，商店销售该海鲜的日利润为y元。 （1）求商店日利润y关于日需求量x的函数表达式。 （2）根据频率分布直方图， 估计这 50 天此商店该海鲜日需求量的平 均数。 假设用事件发生的频率估计概率，请估计 日利润不少于 620 元的概率。 20 （本小题满分 12 分） 己知函数 lnf xxax aR，函数( )f x的导函数为 fx . （1）当1a 时，求 fx 的零点； （2）若函数 fx存在极小值点，求a的取值范围。 频率/组距 0.15 0.10 0.12 0.08 0.05 日需求量 10 18 14 12 20 16 7 页 21 （本小题满分 12 分） 设抛物线C: 2 2(0)ypx p与直线:0 2 p l xmy交于A、B两点。 （1）当AB取得最小值为16 3 时，求p的值。 （2）在（1）的条件下，过点(3,4)P作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N （M、N不同于点P）两点，且MPN的平分线与x轴平行， 求证：直线MN的斜率为定值。 8 页 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题则按所做的第一题计分。答题 时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极 坐 标 方 程 为2cos， 若 极 坐 标 系 内 异 于O的 三 点 1, A ， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上 （1）求证： 123 3； （2）若过B，C两点的直线参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 求四边形OBAC的面积 来源:Z。xx。k.Com 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 24f xxx （1）求不等式 3f xx的解集； （2）若 1f xk x对任意Rx恒成立，求k的取值范围 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 文科数学参考答案与评分细则文科数学参考答案与评分细则 9 页 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B D D C C A A 1.【解析】B=0,2,4,6. AB=0，1，2，3，4，6U.故答案选 C 2.【解析】 2 2 13113313 i2i+ii 22422222 z （），故答案选 B 来源:学ag a ( )(,0)g a在上单调递减，在(0,1)上单调递增。 min ( )(0)1,1,1.g agmm 故选答案 A 二、填空题：二、填空题：本题共本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第16题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。 136 14 2 3 （或（或 120 ） 15. 3:2（或（或 3 2 ，或，或 1.5） 16 3 8 （3 分）分） ， 1 2 （2 分）分） 13.【解析】 2 2,220;n 4 4,220;n 6 6,220.n 故答案为 6 14.【解析】因为 75 , 33 ab cb， 222 222 57 ()() 1 33 cos 5 22 2 () 3 bbb bca A bc bb ， 2 3 A 15.【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R， 圆柱的表面积 22 1 2226SRRRR；球的表面积 2 2 4SR 圆柱的表面积与球的表面积之比为 2 1 2 2 63 42 SR SR ，本题正确结果： 3 2 16.【解析】由题意可得，平面区域M的面积为 1 8 416 2 ， 11 页 当1t 时，平面区域N的面积为2 36 ，所以P 63 168 ； 如图，当24tt取得最大值时，即2t 时，P最大， 当2t 时，平面区域N的面积为2 48，所以最大值 81 162 P ；故答案为 3 8 ， 1 2 。 三解答题：三解答题：共共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生都题为必考题，每个考生都 必须作答。第必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）设 n a的公差为d，则由题可知： 4 5 0 0 a a .1 分 1 1 30 40 ad ad ，即 730 740 d d .2 分 解得 77 43 d.3 分 因为d为整数，d=2.4 分 1 (1)72(1)29 n aandnn 所以数列 n a的通项公式为29 n an.5 分 （2）当4n 时，0 n a ；当5n 时，0 n a .6 分 12345201234520 .()(.)aaaaaaaaaaaa .7 分 52014 () 16() 4 22 aaaa .9 分 ( 7 1) 4(1 31) 16 22 .10 分 =272 .11 分 所以数列 n a的前 20 项和为 272.12 分 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）连接BD，设ACBDOI，连接OE，则点O是BD的中点 又因为E是BS的中点，所以SDOE，1 分 又因为SD平面ACE，OE平面ACE，3 分【注：每个条件 1 分】 所以SD平面ACE4 分 （2）因为四边形ABCD是菱形，且120ABC， 所以 1 60 2 ABDABC又因为ABAD， 12 页 所以三角形ABD是正三角形5 分 取AB的中点F，连接SF，则DFAB，且2 3DF 6 分 又平面ABS平面ABCD，DF 平面ABCD，平面ABS I平面ABCDAB，7 分 所以DF 平面ABS即DF是四棱锥DAES的一条高8 分 【解法 1】而 1 sin2 3 2 ASE SSA SEASE 9 分 所以 E ADSD AES VV 10 分 11 2 32 34 33 ASE SDF 11 分 综上，三棱锥EASD的体积为 4. 12 分 【解法 2】因为E是BS的中点，所以 1 2 EADSB ADS VV 10 分 而 B ADSD ABS VV 1142 3 2 38 332 ABS SDF 11 分 所以，三棱锥EASD的体积为 4. 12 分 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）当1014x时1 分 401014=50140yxxx2 分来源:Zxxk.Com 当1420 x时3 分 40 143014 =30140yxx4 分 所求函数表达式为： 30140 1420 50140 1014 xx y xx 5 分 【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣 2 分】分】 （2）由频率分布直方图得： 海鲜需求量在区间10,12的频率是 1 20.050.1f ； 海鲜需求量在区间12,14的频率是 2 20.10.2f ；6 分 海鲜需求量在区间14,16的频率是 3 20.150.30f ； 海鲜需求量在区间16,18的频率是 4 20.120.24f ； 海鲜需求量在区间18,20的频率是 5 20.080.16f ；7 分 【注：写对任意【注：写对任意 2 个得个得 1 分，全部写对得分，全部写对得 2 分】分】 这 50 天商店销售该海鲜日需求量的平均数为： 13 页 1122334455 xxfxfxfxfxf 8 分 11 0.1 13 0.2 15 0.30 17 0.24 19 0.169 分 15.32（公斤）10 分 当14x 时，560y ， 由此可令30140620 x，得16x 11 分 所以估计日利润不少于 620 元的概率为0.120.0820.4.12 分 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） f x的定义域为0,， 当1a 时， 1 ln1fxx x .1 分 由 2 11 0fx xx 恒成立，知 fx 在0,上是单调递增函数，2 分 又 1ln1 1 10 f ，所以 fx的零点是1x .3 分 （2） ln1ln xaa fxxx xx ， 令 1ln a g xx x ，则 22 1axa gx xxx .4 分 当0a 时， 1 lnfxx， 令 0fx ，得 1 x e ；令 0fx ，得 1 0 x e ， 所以 f x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增， 所以当0a 时， f x存在极小值点 1 e ，符合题意.5 分 当0a 时， 0gx恒成立，所以 g x在0,上单调递增 又 1 0gae e ， 1 1110 a aa a g eaa ee ， 由零点存在定理知， g x在 1 , a e e 上恰有一个零点 0 x，.6 分 且当 0 0,xx时， 0fxg x；当 0, xx时， 0fxg x， 所以 f x在 0 0,x 上单调递减，在 0, x 上单调递增， 14 页 所以当0a 时， f x在 1 , a e e 存在极小值点 0 x，符合题意.7 分 当0a 时，令 0gx，得xa. 当0,xa时， 0gx ；当,xa 时， 0gx ， 所以 min 2lng xgaa.8 分 若2ln0gaa， 即当 2 ae 时， 0fxg xga恒成立， 即当 2 ae 时， f x在0,上单调递增，无极值点.9 分 若2ln0gaa， 即当 2 0ea 时， 11ln 10 1 a gaa a ， 所以10gaga，即 g x在, a上恰有一个零点 1 x，10 分 当 1 ,xa x 时， 0fxg x；当 1 xx时， 0fxg x 所以当 2 0ea 时， f x存在极小值点 1 x.11 分 综上可知，a 2, e 时，函数 f x存在极小值点.12 分 21 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意知：直线:0 2 p l xmy过定点(,0) 2 p ，该点为抛物线焦点。1 分 联立 2 2 2 p xmy ypx ，消去x得： 22 20ypmyp2 分 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 有 12 2yypm， 2 12 yyp3 分 2 121212 ()22 (1) 22 pp ABxxxxpm yypp m4 分 【注：只要学生写出 12 =ABxxp即可给 1 分】 15 页 2 0,0pmQ，当0m 时， min 2ABp5 分 16 2 3 p，解得 8 3 p 6 分 【注：如果解答过程没有证明当0m 时 min 2ABp，最多可得 3 分】 （2）证明：由已知可知直线PM、PN的斜率存在，且互为相反数7 分来源:学,科,网 Z,X,X,K 设 3344 (,),(,)M x yN xy，直线PM的方程为(3)4yk x. 联立 2 16 3 (3)4 yx yk x ，消去x整理得： 2 31664480kyyk.8 分 又 4 为方程的一个根，所以 3 6448 4 3 k y k ，得 3 16 1216 4 33 k y kk 9 分 同理可得 4 16 4 3 y k 10 分 3434 22 3434 34 1611612 3 33( 8)3 () 16 MN yyyy k xxyy yy 11 分 所以直线MN的斜率为定值 2 3 .12 分 22.（本小题满分 10 分） 【解析】 （1） 【解法 1】由 1 2cos， 2 2cos 6 ， 3 2cos 6 ，3 分 则 23 2cos2cos 66 2 3cos 4 分 16 页 所以 123 35 分 【解法 2】M的直角坐标方程为 2 2 11xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx， 2 yk x， 3 yk x， 3, 3k ， 由点到直线距离公式可知 2 1 k MF k 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知 2 2 1 1 +1 2 MF ，得 1 2 2 1k 2 分 由直线方程可知tank， 2 tan+ 6 k ， 3 tan 6 k 所以 2 tan +tan 3 +1 6 = 3 1 tantan 6 k k k ，得 2 2 3 1 k k 3 分 所以 3 tan -tan 31 6 = 3 1 tantan 6 k k k ，得 3 2 3 1 k k 4 分 所以 123 35 分 （2） 【解法 1】曲线M的普通方程为： 22 20 xyx，6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程，整理得 2 30tt，解得 12 0,3tt ；7 分 平面直角坐标为 13 ,2,0 22 BC 8 分 则 23 1,2, 6 ；又得 1 3 . 9 分 即四边形面积为 1213 113 3