2020届上海市崇明区高考一模数学试卷（解析版）VIP

2020年上海市崇明区高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a0b，则下列不等式恒成立的是（）A. B. -abC. a3b3D. a2b22. 已知zC，“”是“z为纯虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（）A.B. 1C. D. 4. 若不等式（|x-a|-b）sin（x+）0对x-1，1恒成立，则a+b的值等于（）A.B.C. 1D. 2二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A=0，1，2，3，B=x|0x2，则AB=_6. 不等式|x-2|1的解集是_7. 半径为1的球的表面积是_8. 已知等差数列an的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和Sn=_9. 函数f（x）=的反函数是_10. 计算：=_11. 在二项式的展开式中，常数项等于_12. 若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_ 13. 已知a，bR+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值等于_14. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数当0x1时，f（x）=x3-ax+1，则实数a的值等于_15. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种16. 正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为_三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，AB=BC=1，BB1=2（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）求直线B1C1与平面A1BC的距离18. 已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，若，求a,b的值19. 某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60x120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值20. 已知椭圆，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D圆O是以线段AB为直径的圆（1）求圆O的方程；（2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M、N，求证：为定值；（3）若点P是椭圆上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由21. 已知无穷数列an，bn，cn满足：对任意的nN*，都有an+1=|bn|-|cn|，bn+1=|cn|-|an|，cn+1=|an|-|bn|记dn=max|an|，|bn|，|cn|（maxx，y，z表示3个实数x，y，z中的最大值）（1）若a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4的值；（2）若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值；（3）设a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列an，bn，cn中有且只有一个数列自第k项起各项均为0答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由于a0b，则0，A错误；对于B，若|a|b|，则-ab，B错误；对于C，由于a0b，则a30b3，C正确；对于D，若|a|b|，则a2b2，D错误；故选：C根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题2.【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件故选B.3.【答案】D【解析】解：如图所示，过点E作EHAB，垂足为HE是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为，OH=EH=OE=1在平面CED内建立直角坐标系如图设抛物线的方程为y2=2px（p0），F为抛物线的焦点C（1，），2=2p1解得p=1F（，0）即OF=，EF=，PB=2，PE=1，该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为=故选：D根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题4.【答案】B【解析】解：当-1x-或x1时，sin（x+）0，当-x时，sin（x+）0，当-1x-或x1时，|x-a|-b0，当-x时，|x-a|-b0，设f（x）=|x-a|-b，则f（x）在（-，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，且f（x）的图象关于直线x=a对称，f（-）=f（）=0，2a=-+=，即a=，又f（）=|-|-b=0，故b=a+b=故选：B设f（x）=|x-a|-b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题5.【答案】1，2【解析】解：A=0，1，2，3，B=x|0x2；AB=1，2故答案为：1，2进行交集的运算即可考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算6.【答案】（1，3）【解析】解：由不等式|x-2|1可得，-1x-21，解得1x3，故答案为：（1，3）由不等式|x-2|1可得，-1x-21，由此解得不等式的解集本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题7.【答案】4【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是412=4故答案为4直接利用球的表面积公式，即可得出结论本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础8.【答案】n2【解析】解：等差数列an的首项为1，公差为2，该数列的前n项和Sn=n=n2故答案为：n2利用等差数列前n项和公式直接求解本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9.【答案】f-1（x）=x2-1（x0）【解析】解：由y=可得：x=y2-1，y0，f（x）=的反函数是：f-1（x）=x2-1（x0），故答案为：f-1（x）=x2-1（x0）将y=转化为用y表示x的算式，进而可得答案本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档10.【答案】3【解析】解：=3故答案为：3可将分子分母同除以3n再利用和极限的四则运算法则即可求解本题主要考查极限及其运算解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在11.【答案】160【解析】解：展开式的通项为= 令6-2r=0可得r=3 常数项为=160 故答案为：160 展开式的通项为=，要求常数项，只要令6-2r=0可得r，代入即可求本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题12.【答案】【解析】解：依题意可知a=3，c=5b=根据顶点坐标可知焦点在x轴，双曲线的方程为故答案为：根据顶点坐标求得a，根据焦距求得c，进而根据b2=c2-a2求得b，进而求得双曲线的标准方程本题主要考查了双曲线的标准方程解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a，b和c的关系，同时注意焦点是在x轴还是在y轴13.【答案】【解析】解：根据题意，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则有（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，则ab=（a2b）（）2=，当且仅当a=2b=时，等号成立；即ab的最大值为，故答案为：根据题意，由直线垂直的判断方法可得（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，进而结合基本不等式的性质分析可得答案本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题14.【答案】2【解析】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数当0x1时，f（x）=x3-ax+1，f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（1）=0，即f（1）=1-a+1=2-a=0，a=2故答案为：2根据函数的周期为2，奇函数，又已知当0x1时的解析式，故f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1）推出f（1）=0，解出即可本题考查了函数的奇偶性和周期性，和特殊值，属于基础题15.【答案】78【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3A33=18种选派方法；，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3A33=18种选派方法；，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下3人中选出2人，有C32种选法，选出4人的安排方法有A33+22A22种，则此时有C32（A33+22A22）=42种选派方法；故一共有18+18+42=78种选派方法；故答案为：78根据题意，按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论，求出每一种情况的选派方法数目，由加法原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题16.【答案】-7【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，则B（2，-2），C（2，2），2=+（1-）=（2，-2）+（1-）（2，2）=（2，2-4），=（1，1-2）即P点坐标为（1，1-2），设M（a，-2），则N（-a，2），-2a2，=（a-1，2-3），=（-a-1，2+1）=（a-1）（-a-1）+（2-3）（2+1）=1-a2+42-4-3，当a=2且=-=时，有最小值-7故答案为：-7建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，-2），（-a，2），将转化为关于a，的函数，即可得到其最小值本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题17.【答案】解：（1）由题意可得BCB1C1，A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，由题意可知BC平面ABB1A1，BCA1B，A1BC为直角三角形，tanA1CB=，异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan；（2）BCB1C1，BC平面A1BC，B1C1平面A1BC，B1C1平面A1BC，直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为h，由等体积法可得=，即h=BC代入数据可得1h=211，解得h=直线B1C1到平面A1BC的距离为【解析】（1）由题意可得A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得；（2）可证B1C1平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离h即为所求，由等体积法可得=，代入数据计算可得本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题18.【答案】解：（1）f（x）=sin2x-cos2x- (xR)=sin2x-=sin（2x-）-1，T=，由2k+2x-2k+，kZ可解得：xk，k+，kZ，f（x）单调递减区间是：k，k+，kZ；（2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1，0C，C=，sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，c=，由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3，由可得a=1，b=2【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题19.【答案】解：（1）由题意，令（x-100+）9，化简得x2-145x+45000，解得45x100；又因为60x120，所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是60，100；（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y；则y=（x-100+）=90000+，（其中60x120）；由60x120，知，所以x=90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升【解析】（1）令（x-100+）9，求出解集，结合题意得出x的取值范围；（2）写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题20.【答案】解：（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），圆O的圆心为原点，半径为2，圆O的方程是x2+y2=4；（2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x01），直线CE的方程是：，点M（，0），同理点N（，0），又点E（x0，y0）在椭圆上，=，（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），联立方程，化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，设P（x1，y1），则x1+（-2）=-，所以|AP|=|x1-（-2）|=，因为圆心O到直线AP的距离d=，所以|AQ|=2=4，假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得=【解析】（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），即可求出圆O的方程；（2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x01），求出直线CE的方程是，从而求出点M坐标，同理求出点N坐标，再利用点E（x0，y0）在椭圆上，坐标满足椭圆方程，即可化简出为定值；（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），代入椭圆方程得到（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，再利用根与系数的关系和弦长公式求出|AP|的长，再利用构造直角三角形用勾股定理算出|AQ|的长，假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得=本题主要考查了椭圆与直线的位置关系，是中档题21.【答案】解：（1）由题意：a2=|b1|-|c1|=2-4=-2；b2=|c1|-|a1|=4-1=3；c2=|a1|-|b1|=1-2=-1；以此类推，看得出a4=0，b4=-1，c4=1（2），若a1=1，b1=2，c1=x，则a2=2-|x|，b2=|x|-1，c2=-1，d2=，a3=|x|-1|-1，b3=1-|2-|x|，c3=|2-|x|-|x|-1|，当0|x|1时，a3=-|x|，b3=|x|-1|，c3=1，d3=1，由d3=d2，得|x|=1，不符合题意当1|x|2，a3=|x|-2，b3=|x|-1，c3=3-2|x|，d3=，由d3=d2，得|x|=1，符合题意当|x|2，a3=|x|-2，b3=3-|x|，c3=-1，d3=由d3=d2，得|x|=2，符合题意，综上c1的取值是：-2，-1，1，2（3）先证明存在正整数k3，使，ak，bk，ck中至少有一个为零，假设对任意正整数k3，ak，bk，ck都不为零，由a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，得d1N*，d2N*，若