2020届江苏省高三上学期八校联考数学（文）试题

页 1 第 江苏省 20192020 学年高三上学期八校联考 数学数学文文试卷试卷 201910 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ） 1已知集合 A1，B1，5，则 AUB 答案：1，5 2i 是虚数单位，复数1 5i 1 i 答案：2i3 3如图伪代码的输出结果为 答案：11 4为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频 率分布直方图如图所示已知在50，75)中的频数为 100，则 n 的值为 答案：1000 5某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个 食堂用餐的概率为 答案： 1 4 6已知是第二象限角，其终边上一点 P(x，5)，且 2 cos 3 ，则 x 的值为 答案：2 7将函数sin() 3 yx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得的图像向左 平移 3 个单位，得到的图像对应的解析式是 答案： 1 sin() 26 yx 8已知函数 2 3 log (1)3 ( ) 213 x xx f x x ， ， ，满足( )3f a ，则a S1 For i from 1 to 4 SS+i End For Print S 页 2 第 答案：7 9已知实数 a，b 满足 22 4549aabb，则 ab 最大值为 答案：2 3 10已知0， 4 ，且 1 cos4 3 ，则 44 sin ()sin () 44 答案： 6 3 11直角ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB6 3，AC6， 1 AEED 2 uuu ruuu r ，则AE EB uuu r uuu r B A C D E 答案：14 12已知奇函数( )f x满足(1)(1)fxfx，若当 x(1，1)时， 1 ( )lg 1 x f x x 且(2019)1fa(0 a1)，则实数a 答案： 2 11 13已知 a0，函数( ) x f xae，( )lng xeaxb(e 为自然对数的底数） ，若存在一条直线与曲线( )yf x 和( )yg x均相切，则 b a 最大值是 答案：e 14若关于x的方程 2 22(2) xx a xaexe 有且仅有 3 个不同实数解，则实数a的取值范围是 答案：0a 或1a 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 已知集合 A 2 2 log ( 4159)x yxxxR，B 1x xmxR， （1）求集合 A； （2）若 p：xA，q：xB，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 解：（1） 集合A即为函数 2 2 log ( 4159)yxx定义域， 即需 2 41590 xx-2 分， 即 2 41590,xx 即(3)(43)0 xx-5 分，得 3 ( ,3) 4 A -7 分 （2）由111,11xmxmxmxmxm 或即或，-9 分 则1, )(,1Bmm -10 分 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以A是B的真子集-11 分 页 3 第 即需 3 131 4 mm 或得 1 4 4 mm 或-13 分 所以实数 m 的取值范围是 1 (,4,) 4 -14 分 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，DCAB，BAD90 ， 且 AB2AD2DC2PD，E 为 PA 的中点 （1）证明：DE平面 PBC； （2）证明：DE平面 PAB 证明： （1）设 PB 的中点为 F，连结 EF、CF，EFAB， DCAB，所以 EFDC，-2 分 ， 且 EFDC 1 2 AB 故四边形 CDEF 为平行四边形，-4 分 可得 EDCF-5分 又 ED平面 PBC，CF平面 PBC，-6 分 故 DE平面 PBC-7 分 注： （证面面平行也同样给分） （2）因为 PD底面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 ABPD 又因为 ABAD，PDIADD，AD平面 PAD，PD平面 PAD， 所以 AB平面 PAD-11 分 ED平面 PAD，故 EDAB-12 分 又 PDAD，E 为 PA 的中点，故 EDPA；-13 分 PAIABA，PA平面 PAB，AB平面 PAB，所以 ED平面 PAB-14 分 17 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 cosC 3 5 （1）若 9 CB CA 2 uuu r uuu r ，求ABC 的面积； （2）设向量x r ( B 2sin 2 ，3)，y u r (cosB， B cos 2 )，且x r y u r ，b5 3，求 a 的值 解（1）由CB CA9 2 ，得 abcosC 9 2 2 分 又因为 cosC 3 5 ，所以 ab 9 2cosC 15 2 4 分 页 4 第 又 C 为ABC 的内角，所以 sinC 4 5 所以ABC 的面积 S1 2absinC3 6 分 （2）因为 x/y，所以 2sinB 2cos B 2 3cosB，即 sinB 3cosB 8 分 因为 cosB0，所以 tanB 3 因为 B 为三角形的内角，0B，-9 分 所以 B 3 10 分 所以 331443 3 sinsin()sincoscossin 252510 ABCBCBC -12 分 由正弦定理， 5 3 43 3 sinsin43 33 102 aba a AB -14 分 18 （本小题满分 16 分） 已知梯形 ABCD 顶点 B，C 在以 AD 为直径的圆上，AD4 米 （1）如图 1，若电热丝由三线段 AB，BC，CD 组成，在 AB，CD 上每米可辐射 1 单位热量，在 BC 上每米可辐射 2 单位热量，请设计 BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值； （2）如图 2，若电热丝由弧AB，CD和弦 BC 这三部分组成，在弧AB，CD上每米可辐射 1 单位热 量，在弦 BC 上每米可辐射 2 单位热量，请设计 BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大 图 1 图 2 【解】设， -1 分 （1），-2 分， -3 分 总热量单位-5 分 当时，取最大值， 此时米，总热量最大 9（单位）.-6 分 答：应设计长为 米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为 9 单位.-7 分 （2）总热量单位，-10 分 ( )48sing-11 分 令，即 ，因，所以，-12 分 当时，为增函数，当时，为减函数，-14 分 当时，取最大值，此时米.-15 分 页 5 第 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.-16 分 19 （本小题满分 16 分） 设常数aR，函数 2 ( ) 2 x x a f x a （1）当 a1 时，判断( )f x在(0，)上单调性，并加以证明； （2）当 a0 时，研究( )f x的奇偶性，并说明理由； （3）当 a0 时，若存在区间m，n(mn)使得( )f x在m，n上的值域为2m，2n，求实数 a 的取 值范围 解(1)1a 时， 12 212 ( )1,(0,), 2121 x xx f xx x 且 12 xx 21 1212 12 222(22 ) ( )()0 2121(21)(21) xx xxxx f xf x 所以( )yf x在(0,)上递减。 -3 分 法二：(0,)x， 2 2 ( )2 ln20 (21) x x fx ，所以( )yf x在(0,)上递减。 （2）0a 时( )1f x 满足()( )1fxf x，( )yf x为偶函数。-4 分 1a 时 21 ( ), 21 x x f x 定义域 0 x x ， 且 21 1 2 ( )( ) 21 1 2 xx xx fxf x ，( )yf x为奇函数。 -6 分 01aa且时，定义域为 2 logx xa因 2 1,log0aa ， 定义域不关于原点对称-7 分，因此( )yf x既不是奇函数也不是偶函数。-8 分 （3） 22 ( )1 22 x xx aa f x aa 当0a 时，( )yf x在 2 (log,)a 和 2 (,log)a上递减 则 2 12 2 (*) 2 12 2 n m m n a a a a 两式相减得 222 (22 )2 2222(2)(2)2 22(2)(2)2 nm nmnmmnn mnmnm aaaa aaaa aaaaa 即得2再代入得 （*） 1 (2)2 ,1(21)(21)2 nnmn aa 此方程有解，如 2 1,log 3mn 因此1a 满足题意。-11 分 当0a 时，( )yf x在(,) 递增，有题意( )yf x在 , m n上的值域为2 ,2 mn 知 2 12 2 (*) 2 12 2 m m n n a a a a 即,m n是方程 2 12 2 x x a a 的两根 页 6 第 即方程 2 (2 )(1)20 xx aa有两不等实根， 令20, x t 即 2 (1)0tata有两不等正根。-13 分 即需 2 12 1 2 (1)4032 232 2 10132 20 00 aaaa ttaaa at ta 或 -15 分 综上 1( 32 2,0)a -16 分 20 （本小题满分 16 分） 设函数( )ln b f xaxx x (x0，a，bR) （1）当 b0 时，( )f x在1，)上是单调递增函数，求 a 的取值范围； （2）当 ab1 时，讨论函数( )f x的单调区间； （3）对于任意给定的正实数 a，证明：存在实数 0 x，使得 0 ()0f x 解：(1) 当0b=时，( )lnf xaxx； 因( )f x在1,)上是单调递增函数，则 1 ( )0fxa x ，即 1 a x 对1,)x恒成立， 则 max 1 ( )a x 1 分 而当1,)x， 1 1 x ，故1a故a的取值范围为1,) 3 分 (2) 当1ab时， 1 ln a f xaxx x ， 2 222 111(1)(1) ( ) aaxxaxaxa fxa xxxx 当a0时， 令( )0fx，得(0,1)x，令( )0fx，得(1,)x， 则 ( )f x的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)； 5 分 当 1 0 2 a时， 2 1 (1)() ( ) a a xx a fx x . 令( )0fx得，01x，或 1a x a ， 令( )0fx得， 1 1 a x a ， 则 ( )f x的单调递增区间为(0,1)， 1 (,) a a ，递减区间为 1 (1,) a a ； 7 分 当 1 2 a 时， 2 2 (1) ( )0 2 x fx x ，当且仅当1x 取“=”. 则( )f x的单调递增区间为(0,)，无减区间. 8 分 当 1 1 2 a时， 2 1 (1)() ( ) a a xx a fx x . 令( )0fx得， 1 0 a x a ，或1x ，令( )0fx得， 1 1 a x a ， 页 7 第 则 ( )f x的单调递增区间为(0,1) a a ，(1,)，递减区间为 1 (,1) a a ； 9 分 5 当1a 时， 2 1 (1)() ( ) a a xx a fx x ，令 ( )0fx 得，1x ，令 ( )0fx 得， 01x， 综上所述，当a0时，单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)； 当 1 0 2 a时，单调递增区间为(0,1)， 1 (,) a a ，递减区间为 1 (1,) a a ； 当 1 2 a 时，单调递增区间为(0,)，无减区间； 当 1 1 2 a时，单调递增区间为(0,1) a a ，(1,)，递减区间为 1 (,1) a a ； 当 1a 时，单调递增区间为(1,)，递减区间为(0,1)，10 分 (3)先证ln2xx. 设( )ln2p xxx,0 x ,则 111 ( ) x p x xxx ， (0,1)x，0y，则( )p x在(0,1)x单调递增； (1,)x，0y，则( )p x在(0,1)x单调递减； 则( )(1)20p xp ，故ln2xx. 12 分 取法 1：取 0 x= 1 1x ，其中 2 1 11| () a b x a 为方程2| 0axxb的较大根. 因 0 x= 1 11x ，则 00 | | bb b xx