2020届湖北省荆门市高三元月调考数学（文）试题

- 1 - 荆门市 2020 年高三年级元月调考试卷 数学（文科） 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 1已知集合 |01Axx ，13| x xB，则 A |0ABx xI BA B RU C. |1ABx xU DAB I 2设i是虚数单位，则 i 2 i1 等于 A0 B 2 C2 D4 3下列各式中错误 的是 A 33 0.80.7 Blg1.6 lg1.4 C6 . 0log4 . 0log 5 . 05 . 0 D 0.10.1 0.750.75 4设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点与抛物线 2 8yx的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方 程为30 xy，则双曲线C的方程为 A 2 2 1 3 x y B 2 2 1 3 y x C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 5已知函数 sinf xAx（0A，0， 2 ） 的部分图象如图所示，则 A 6 B 4 C 3 D 2 3 6已知 1 tan4, tan 则sin2 A 1 5 B 1 4 C 1 2 D 3 4 7设 n S是等差数列 n a的前 n 项和,若 3 6 S1 S3 ,则 6 12 S S A 3 10 B 1 3 C 1 8 D 1 9 第 5 题图 - 2 - 8太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到 气功、武术等等，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而 被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 22 22 22 4 ,1111 0 xy x y xyxy x 或 ，设点( , ) x yA ， 则 2zxy 的取值范围是 A 15,2 5 B 2 5,2 5 C 2 5,15 D 4,15 9灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型 的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期 间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会游戏开始前， 甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖” 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的， 则中奖的同学是 A甲 B乙 C丙 D丁 10函数 ln 1 ( ) x f xe x 的大致图象为 11已知二面角l 为 0 60 ,点 P、Q 分别在、内且 ,PQl P 到的距离为3,Q 到的距离为 3 2 , 则 PQ 两点之间的距离为 A. 3 B1 C2 D 2 12已知 1 F， 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 3 21 PFF，椭圆的离心率 - 3 - 第 15 题图 为 1 e，双曲线的离心率 2 e，则 2 2 2 1 31 ee A1 B 2 C2 D4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学 生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）的开始，依次向右， 直到取足样本，则第五个编号为 . 14已知向量, a b r r 满足3,2 3,ab rr 且0aab rrr ，则, a b r r 的夹角为 . 15如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去 得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1023 个正方形，且其最大 的正方形的边长为 2 2 ，则其最小正方形的边长为 . 16 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100， PA平面ABC，8PA, 0 60BAC, 则三棱锥体积的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分）已知在等比数列 n a 中， 1 2a ，且 1 a， 2 a， 3 2a 成等差数列 （）求数列 n a 的通项公式； （）若数列 n b 满足：2 1 2log nn n ba a ，求数列 n b 的前n项和 n S 18.（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥ABCDE中， 平面BCDE平面ABC，BEEC， 6,4 3BCAB， 30ABC （）求证：ACBE； 7816 6514 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 - 4 - （）若二面角BACE为45，求直线AB与平面 ACE所成的角的正弦值 19.（本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市为了节约生活 用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部 分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 40 位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组0,0.5 , 0.51 , 3,3.5L，制作了频率分布直方图， （）用该样本估计总体： （1）估计该市居民月均用水量的平均数； （2）如果希望 86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？ （）在该样本中 月均用水量少于 1 吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于 0.5 吨的概 率是多少？ 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭 圆E的长轴为直径的圆与直线 20 xy 相切 （）求椭圆E的标准方程； （）, ,ABC为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若0O AO BO C u u u r u u u r u u u r r ，试问：A B CV的面积 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由 21.（本小题满分 12 分）已知函数 2 lnfxxxaxaR 在定义域内有两个不同的极值点. （）求实数a的取值范围； - 5 - （）记两个极值点为 12 ,x x，且 12 xx，求证： 12 1xx. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（10 分）【选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为: 1cos sin x y （为参数），以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为: 4 R （）求直线l与曲线 1 C公共点的极坐标； （）设过点 0, 1P 的直线m交曲线 1 C于A，B两点，求PAPB的值 23.（10 分）【选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲】 设不等式2 11x的解集是M，a，bM （）试比较1ab与ab的大小； （）设max A表示数集A中的最大数 22 11 max, 44 ab h aabb ，求h的最小值 - 6 - 荆门市 2020 年高三年级元月调考试卷 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分. 15 DBDBC 6-10 CACAC 11-12 AD 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分. 13.43 14. 5 6 15. 1 32 16. 18 3 三、解答题： 17.17.解解：（1）设等比数列 n a 的公比为q， 1 a， 2 a， 3 2a 成等差数列， 21333 2222aaaaa ，3 分 *3 2 22n n a qan a N 6 分 （2） 22 111 2log2log 22 22 nn n nn n ban a ， 8 分 23 1111 2462 2222 n n Sn 23 1111 2462 2222 n n 10 分 2* 11 1 22 1 1 2 1(1) 1 2 n n n nnnn N 12 分 18.18.解解：（）证明：在ACB中， 222 2cos3ACABBCAB BCABC, 所以 222 ACBCAB,所以ACBC 2 分 因为平面BCDE 平面ABC,平面BCDEI平面ABCBC,BCAC, 所以AC 平面BCDE 4 分 又因为BE 平面BCDE，所以ACBE 6 分 （）解：因为AC 平面BCDE，CE 平面BCDE，所以ACCE 又BCAC,平面ACE 平面ABCAC, - 7 - 所以BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即45BCE o 8 分 因为,BEEC ACBE ECACCI,所以BE 平面ACE 所以BAE是直线AB与平面ACE所成的角10 分 因为在Rt BCE中， 3 2 sin45 2 BEBC o ， 所以在Rt BAE中， 6 sin 4 BE BAE AB 12 分 1919解：解：（）（1）月均用水量 0.25 0.050.75 0.1 1.25 0.15 1.75 0.22.25 0.3x 2.75 0.153.25 0.051.875 3 分 （2）由直方图易知： 2.5,3 ,3-0.30.5 0.1 1 86%2.7aaa 由吨 故月均用水量a的标准定为 2.7 吨. 6 分 （）由直方图可知：月均用水量在0,0.5的人数为：40 0.1 0.5=2人，记为:a,b， 月均用水量在0.51 ，的人数为：40 0.2 0.5=4人，记为：,B,C,D 8 分 从此 6 人中随机抽取两人所有可能的情况有： ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 15 种，其中月均用水量都 在0.51 ，的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种， 10 分 故两人月均用水量都不低于 0.5 吨的概率: 155 62 P= 12 分 20. 解：解：（）由题意知， 2 分 解得 则椭圆 的方程是： 4 分 （）当 AB 斜率不存在时， 2323 (2,0),(,)(,) 2222 CAB不妨设， 13 23 6 3 224 S 5 分 - 8 - 设:,AB ykxm由 222 22 (12)42(1)0 22 ykxm kxmkxm xy 设 112233 ( ,)(,)(,)A x yB xyC x y，则 1212 2 22 42(1) , 1 21 2 xxx mk x m kk 7 分 312 22 312 =- 0,22 =- xxx OAOBOCxy yyy uuu ruuu ruuu rr 由代入有： 22 22 22 44 222421 1 21 2 mkmk mmk k k k 9 分 原点 O 到 AB 的距离 2 , 1 m d k 222222 22 22 168(1)(21)(21) 12 21 2121 m kmkkm ABkk kk 11 分 故 222 2 22 2 (21)1333 6 32 213 2 222144 1 mkmm SABdk km k 综上：A B CV的面积为定值 3 6 4 .12 分 21.21.解：解：（）由题意，方程0)( xf在, 0有两个不同根,即方程1 ln20 xax有两个不同根； 解法解法 1 1：转化为函数( )lng xx与函数21yax的图象在 0,上有两个不同交点， 令 00 0 11 ()2 2 g xax xa , 1 分 故( )g x在 11 (,ln() 22aa 处的切线方程为： 111 ln()() 222 yx aaa 3 分 代入点0, 1有： 11111 1 ln()(0)ln()0121 22222 a aaaaa 由图象可得： 1 20,10, 2 aa 5 分 解 法解 法2 2 ： 转 化 为 函 数 1l n ( ) x g x x 与 函 数2ya的 图 象 在0,上 有 两 个 不 同 交 点 1 分 - 9 - 2 ln ( )(0) x g xx x ，故0,1x时， ( ) 0;g x 1,x时， ( ) 0;g x ( )0,11+g x故在单增，在 ，上单减， max ( )(1)1g xg3 分 又 111 ( )0,(0, )( )0;( ,)( )0;gxg xxg x eee 故时，时， 由图象可得： 1 20,10, 2 aa 5 分 解法解法 3 3： 1 2 (0)fxa x x 1 分 2000 +afxfx时，故在，上单增， =0 +fx故0在，最多只有一个实根，不合题意； 2 分 11 2000;0,; 22 afxxfxx aa 时，令，令 11 0,; 22 fx aa 故在，上单增，在上单减 故 max 1 1 ln(2 ) 1ln(2 )020,1 2 fxfaaa a 11 20,120, lim x afafx ee 当时， =00 +fx故在，上有两个不等的实根；故 1 0, 2 a 5 分 （）由（）知： 12 ,1 ln20 x xxax是的两个根， 12 1122 12 lnln 1ln201ln202 = xx xaxxaxa xx 故， 7 分 121212 1lnln02-1 + 2-10 xxxxaxax要证：，只需证：即证： 12 12 1212 lnln2 22 xx a xx xxxx 即证：即证： 又 1 122 1 12 1 212 2 21 2 0,ln( ) 1 x xxxx xx x xxx x 故上式即为： 9