2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数字（文）试题（解析版）

此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷文科 数 学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数满足，则（ ）ABCD3若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）ABCD4已知函数，那么的值为（ ）ABCD5已知平面向量，的夹角为，且，则（ ）ABCD6已知，则下列不等式不成立的是（ ）ABCD7直线与圆相交于、两点，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8对任意，函数的导数都存在，若恒成立，且，则下列结论正确的是（ ）ABCD9已知函数：；从中任取两个函数，则这两个函数的奇偶性相同的概率为（ ）ABCD10函数且的图像可能为（ ）ABCD11设为双曲线的右焦点，过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于，两点，为坐标原点，四边形为菱形，圆与在第一象限的交点是，且，则双曲线的方程是（ ）ABCD12己知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，第三行为，第四行为，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，若，则（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列为等差数列，其前项和为，则 14已知长方体各个顶点都在球面上，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 15已知，则 16设函数的两个零点分别为，且在区间上恰有两个正整数，则实数的取值范围为 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）函数部分图象如图所示：（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值18（12分）如图，三棱锥中，是正三角形，（1）证明：；（2）若，求点到平面的距离19（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；求当天的利润不低于元的概率；（3）若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？20（12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，离心率，短轴长为（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值21（12分）已知函数（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线，的极坐标方程；（2）直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求的取值范围2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷文科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】，2【答案】A【解析】因为，所以3【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为4【答案】C【解析】，5【答案】D【解析】6【答案】B【解析】取，对于A选项，A选项成立对于B选项，B选项不成立对于C选项，C选项成立对于D选项，D选项成立7【答案】A【解析】若，则直线，圆心到直线的距离，可得，但是，若，由对称性可知直线或均满足要求，因此“”是“”充分不必要条件8【答案】D【解析】令，则，所以为上单调递增函数，因为，所以，即9【答案】D【解析】中函数是非奇非偶函数，中函数是偶函数，中函数是奇函数，中函数是偶函数，从上述个函数中任取两个函数，有中取法：、，其中的奇偶性相同，均为偶函数，所求概率为10【答案】D【解析】是奇函数，是偶函数，故是奇函数，排除A、B；当时，排除C，故选D11【答案】D【解析】双曲线的渐近线为，过的右顶点作轴的垂线，易知这条直线与渐近线的交点为，又为坐标原点，四边形为菱形，即，得，即双曲线，排除A、C圆与在第一象限的交点是，且，联立，得点，得，由可知，双曲线方程，故选D12【答案】C【解析】由图表可知：数表为从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第组个奇数，第组个奇数，第组个奇数，则前组共个奇数设在第组中，又是从开始的连续奇数的第个奇数，则有，解得，即在第组中，则前组共个数又第组中的奇数从右到左，从小到大，则为第组从右到左的第个数，即为第组从左到右的第个数，即，故二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】，14【答案】【解析】易知球的半径为，取中点，则当截面与垂直时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为15【答案】【解析】因为，两边同时平方得，即，等式左边上下同时除以，得，解方程可得，当时，由二倍角公式得；当时，由二倍角公式得，所以16【答案】【解析】，依题意可得函数与函数图象两个交点的横坐标为，作出函数的图象，其中部分如图所示，在区间上的一个正整数必为，观察图象的趋势易知另一个正整数为，故三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）由图可得，所以，所以，当时，可得，因为，所以，所以的解析式为（2），因为，所以，当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为18【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取中点，连，是正三角形，在中，平面，（2）正中，中，中，由（1）证得：平面，又为中点，设到平面的距离为，19【答案】（1）见解析；（2），；（3）【解析】（1）当时，；当时，（2）由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：设“当天利润不低于”为事件，由知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，所以当天的利润不低于元的概率为（3）若一天制作个蛋糕，则平均利润为；若一天制作个蛋糕，则平均利润为，蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕20【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，解得，故椭圆的标准方程为（2）当直线的斜率不存在时，不妨取，故；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，化简得，设，点到直线的距离，是线段的中点，点到直线的距离为，综上，面积的最大值为21【答案】（1）；（2）不存在，见解析【解析】（1）依题意在上恒成立，即，在上恒成立，令，则当时，所以，即实数的取值范围是（2）依题意，所以，所以不等式在时恒成立即，即在时恒成立，令，则因为，所以当时，所以函数在上单调递增，若，解得，与不符，应舍去；当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，问题转化为恒成立时，求的最大值令，则当时，；当时，所以在上单调递增，在单调递减，当时，因为，所以，即恒成立所以不存在整数使恒成立综上所述，不存在满足条件的整数22【答案】（1），