2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得=或，=，所以.故选：C【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2“是1和4的等比中项”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D即非充分也非毕必要条件【答案】B【解析】将条件“是1和4的等比中项”化简，得，结合充分必要条件判断即可【详解】由“是1和4的等比中项”可得，显然在命题“若是1和4的等比中项，则”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题3若复数的共轭复数满足：，则复数等于（ ）ABCD【答案】D【解析】由得出，利用复数的除法法则求出，利用共轭复数的概念可求出复数.【详解】，因此，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20，比赛结束前发生抽筋的概率为50若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5在中，则的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出,再利用基本不等式求的最大值.【详解】由题得，因为,所以.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6如图，在长方体中，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，所以.故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.7如图，在正方体中，点、分别为线段、的中点，用平面截正方体，保留包含点在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（ ）ABCD【答案】A【解析】作出平面与正方体表面的交线，即得主视图.【详解】如图所示，平面截平面的交线为,平面截平面的交线为,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A.故选：A【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8若，恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题得，再通过求函数的值域得解.【详解】由题得，设.所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据双曲线的定义可知，进而根据，分别求得和，进而根据勾股定理建立等式求得和的关系，然后求解渐近线方程【详解】由双曲线的定义可得，又，得，；在中，即，则即，双曲线一条渐近线方程：；故选：【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握10将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种A6B12C18D36【答案】A【解析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有种方法.故选：A【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11设等差数列的前项和为，已知，为整数，且数列的最大项为，取，则的最大项为（ ）ABCD【答案】B【解析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果【详解】等差数列的前项和为，已知，为整数，所以，解得，由于为整数，所以则所以：，所以：，令，由于函数的图象关于对称且，故：故选：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用12已知对于任意的，总有成立，其中为自然对数的底数，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题得，设对a分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解.【详解】由题得，设，由得，当时，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以所以，所以，设，所以，所以函数在（0,1）单调递减，在（1，）单调递增，所以.所以此时的最小值为.当时，函数f(x)单调递增，不符合题意.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则正实数_【答案】【解析】由积分的几何意义可得，利用积分基本定理求解后可求正实数的值【详解】由积分的几何意义可得，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题14若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分离参数可得，根据基本不等式即可求出【详解】不等式的解集是，即，恒成立，当，当时，因为.所以故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题15已知，均为非零向量，且，若恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可【详解】非零向量，夹角为，若，不等式对任意恒成立，即；整理可得，恒成立，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题16已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，假定每个冰淇淋球都是半径为的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为_【答案】【解析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心组成一个边长为的等边三角形，其中心为,先求出，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.【详解】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心组成一个边长为的等边三角形，其中心为,所以，由题得圆台的高为，其轴截面如图所示，由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=,则BM=,在直角中，所以，所以下底的半径为，所以圆台的体积为故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17如图所示，在三棱柱中，平面平面，（1）证明：；（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面的夹角【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明平面，可得；（2）由得，延长到使得，连结证明，,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面的夹角【详解】解：（1）连结平面，且，平面又，平面又平面，中，为菱形，因为平面,所以平面，因为平面所以.（2），且，延长到使得，连结，且，且，又平面平面，平面，又，可以建立如图所示的空间直角坐标系，其中各点坐标为，取平面的法向量为，即，不妨取，取直线与平面的夹角为，则，【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18已知函数，在上的最大值为3（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；（2）若锐角中，角，所对的边分别为，且，求的取值范围【答案】（1），周期为，单调递增区间为，（2）【解析】（1）化简得，根据最大值求出p的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据得到，,化简得，再求范围得解.【详解】（1）依题意，的最大值为3，其中，其周期为因为，时，单调递增，解得的单调递增区间为，（2），且为锐角，又，为锐角，所以，其中，【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量，则，【答案】（1），三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）（元），（元2）【解析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，求出若骑车到校，则不迟到概率记为，（，），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，比较即可做出选择；（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数先求出和，再求的期望与方差.【详解】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，取，则，若骑车到校，则不迟到的概率记为，取，则，则，（，）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，取，则，综上，三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为，又，（元），（元2）【点睛】本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20已知，从原点作图像的切线，切点为，已知，其中为自然对数的底数（1）求的值；（2）若有两个极值点，（i）求参数的范围；（ii）若假定，求的取值范围【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】（1）先求出切点为，再根据求出m的值；（2）（i），则在有两零点，得到k的不等式，解不等式即得解；（ii）先求出，再利用导数求函数的值域得解.【详解】（1），从原点作图像的切线，设切点为，切点为又，且，（2）（i）依题意，其中，取，若函数有两个极值点，则在有两零点，（ii）若，为的极值点，则，为的两根，又，又，取，在单调递增，的值域为，即的取值范围为【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，（1）求的取值范围；（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）设直线为，设，为交点，由得，即得解；（2）求出点和的坐标分别为，利用在直线上得到，设，利用导数求出函数的取值范围.【详解】（1）依题意，设直线为，代入得，其判别式为，设，为交点，焦点的坐标为，或成立（2）若，则，设点，为直线、直线与抛物线的交点设直线为，代入得，同理可得，点和的坐标分别为，又在直线上，共线，设，在时恒成立，在单调递增，的取值范围为【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于点，点满足，设倾斜角为的直线经过点（1）求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；（2）直线与曲线交于、两点，当为何值时，最大？求出此最大值【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为，其中为参数（2）当时，取得最大值【解析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线的直角坐标方程为，求出点的直角坐标为，再写出直线的参数方程；（2）设交点，所对应的参数分别为，求出，再求出最大值得解.【详解】（1），曲线的直角坐