2020届广东省肇庆市高三第一次统考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年广东省肇庆市高中第一次统考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求出、中不等式的解集确定出、，找出与的交集即可【详解】集合，集合，所以.故选：C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z1+i，则z（ ）AB2C2D【答案】B【解析】先求出的共轭，进而利用乘法公式得到结果.【详解】z1+i，故选：B【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3设，向量， ，且，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由知，则，可得故本题答案应选B【考点】1.向量的数量积；2.向量的模4已知，则（）ABCD【答案】C【解析】先由题得，再化简，即得解.【详解】由题得,所以.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是，这里利用了“1”的变式，.5下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为A B C D【答案】C【解析】因为，所以，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.6设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y2x的最小值为（ ）(A) 7(B) 4(C) 1(D) 2【答案】A【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.7若，则A BC D【答案】C【解析】试题分析： 为增函数且，所以A，C错误. 为减函数且，所以D错误.故选B.【考点】比较大小.8执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）ABCD【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，故选B.【考点】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.9“a=1”是“函数在区间1, +)上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数f(x)的单调增区间为a，)，减区间为(，a，所以当a1时，增区间为1，)，所以在2，)上也递增当f(x)在区间2，)上为增函数，则有a2，所以a1不一定成立10由函数f（x）sin2x的图象平移得到g（x）cos（ax），（其中a为常数且a0）的图象，需要将f（x）的图象（ ）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位【答案】B【解析】先根据平移关系求出a2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可【详解】解：由函数f（x）sin2x的图象平移得到g（x）cos（ax），则函数的周期相同即a2，则g（x）cos（2x）sin（2x）sin（2x）sin2（x），则需要将f（x）的图象向向左平移个单位，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础11已知函数f（x）xsinx的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x1，x2（），且f（x1）f（x2），则（ ）Ax1x2Bx1+x20Cx1x2Dx12x22【答案】D【解析】根据函数的解析式f（x）xsinx，结合奇偶函数的判定方法得出函数f（x）xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图再利用正弦函数的性质得出当x时和当x时，函数f（x）xsinx的单调性，即可对几个选项进行判断【详解】解：由于函数f（x）xsinx，f（x）xsin（x）xsinxf（x），函数f（x）xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图且当x时，函数f（x）xsinx是增函数，x1，x2（），函数f（x）xsinx是偶函数，且f（x1）f（x2）， ，又当x时，函数f（x）xsinx是增函数，即x12x22故选：D【点睛】本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力12已知函数f（x）ex，g（x）42，若在0，+）上存在x1，x2，使得f（x1）g（x2），则x2x1的最小值是（ ）A1+ln2B1ln2CDe2【答案】B【解析】先由f（x1）g（x2），可得，设x2x1t，（t0）可得x2t+x1，即方程0那么（ex+2）216（t+x），t，通过求导研究单调区间，求极值即可求出结论【详解】解：由f（x1）g（x2），可得，设x2x1t，（t0）可得x2t+x1，即方程0那么（ex+2）216（t+x）t，令y，（x0）可得y令y0，可得xln2，在区间（0，ln2）时函数y递减，（ln2，+）时函数y递增；当xln2，可得y的最小值为1ln2即t的最小值为1ln2故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，考查换元法及减元思想，属于中档题二、填空题13若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_【答案】1【解析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果【详解】等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q可得：81+3d，d3，a22；8q3，解得q2，b22可得1故答案为：1【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力14【答案】【解析】2， ().又， .15已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_.【答案】6【解析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大【详解】因为等差数列中，所以，Sn达到最大值时对应的项数n的值为6故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题16已知ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且bcosCccosBa2，tanB3tanC，则a_【答案】2【解析】根据题意，由tanB3tanC可得3，变形可得sinBcosC3sinCcosB，结合正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAa，变形可得：sinBcosCsinCcosBsin（B+C）a，由和角公式分析可得sinBcosCsinCcosBa（sinBcosC+sinCcosB），将sinBcosC3sinCcosB代入分析可得答案【详解】根据题意，ABC中，tanB3tanC，即3，变形可得sinBcosC3sinCcosB，又由bcosCccosBa2，由正弦定理可得：sinBcosCsinCcosBsinAa，变形可得：sinBcosCsinCcosBsin（B+C）a，即sinBcosCsinCcosBa（sinBcosC+sinCcosB），又由sinBcosC3sinCcosB，则2sinCcosBsinCcosBa，由题意可知：，即sinCcosB0，变形可得：a2；故答案为：2【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题三、解答题17已知f（x）sinx2sin2（0）的最小正周期为3（1）求的值；（2）当x时，求函数f（x）的最小值【答案】(1) (2)【解析】（1）先化简f（x）2sin（）1，由函数f（x）的最小正周期为3即可求出的值；（2）由（1）可知f（x）2sin（x）1，在由x，求出，从而当，即x时，f（x）min21【详解】（1）f（x）sinx22sin（）1，函数f（x）的最小正周期为3，（2）由（1）可知f（x）2sin（）1，x，当，即x时，f（x）min21【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题18已知内角，的对边分别为，（1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得，解得A;（2）根据正弦定理得，再根据余弦定理得，最后根据三角形面积公式得结果.详解： （1）由于，所以，因为，故 （2）根据正弦定理得， ，因为，所以 由余弦定理得得因此的面积为 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若（nN，且n2）（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列cn的前n项和Tn【答案】(1) an2n1；(2) Tn【解析】（1）根据题意，有anSnSn1，结合分析可得1，则数列是以1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得1+（n1）n，则Snn2，据此分析可得答案；（2）由（1）的结论可得cn（2n1）22n1；进而可得Tn12+323+525+（2n1）22n1，由错位相减法分析可得答案【详解】（1）数列an中，anSnSn1，（nN，且n2），（nN，且n2）可得：1，则数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则1+（n1）n，则Snn2，当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n1，a11也符合该式，则an2n1；（2）有（1）的结论，an2n1，则cn（2n1）22n1；则Tn12+323+525+（2n1）22n1，；则4Tn123+325+527+（2n1）22n+1，；可得：3Tn2+2（23+25+22n1）（2n1）22n+1（2n）22n+1，变形可得：Tn【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列an的通项公式，考查学生的计算能力20已知数列an的前n项和Sn1+an，其中0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）当2时，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析 ，an (2)1【解析】（1）数列an的前n项和Sn1+an，其中0n1时，a11+a1，1，解得a1n2时，anSnSn1，化为：即可证明an是等比数列，进而得出其通项公式（2）当2时，an2n12利用裂项求和方法即可得出【详解】（1）证明：数列an的前n项和Sn1+an，其中0n1时，a11+a1，1，解得a1n2时，anSnSn11+an（1+an1），化为：数列an是等比数列，首项为，公比为：an，（2）解：当2时，an2n12数列的前n项和22（）1【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知函数f（x）lnx，aR（1）若x2是函数f（x）的极值点，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若x1时，f（x）0，求a的取值范围【答案】(1) x+8y10，(2) （，2【解析】（1）由x2是函数f（x）的极值点，可得，f（2）0，代入可求a，然后结合导数的几何意义即可求解，（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解【详解】（1）f（x），由x2是函数f（x）的极值点，可得，f（2）0，a，yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率kf（1），又f（1）0故yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程y即x+8y10，（2）若a2，x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）0，符合题意，若a2，方程x2+（22a）+10的4a28a0，x2+（22a）+10有两个不等的根，设两根分别为x1，x2，且x1x2，x1+x22a2，x1x21，0x11x2，0，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1，x2）时，x2+（22a）+10，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）f（1）0，不符合题意，综上可得，a的范围（，2【点睛】本题主要考查了极值存在条件的应用，导数的几何意义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了分类讨论思想的应用22设函数f（x）ax2+（12a）xlnx（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）ln（ae2）2a（e为自然对数的底数）【答案】(1)见解析 (2)证明见解析【解析】（1）先求出导函数f（x），再对a分情况讨论，分别求出函数f（x）的单调区间；（2）由（1）可知当a0时，f（x）的最小值为f（1）1a，令g（a）1a（lnae22a）a1lna，利用导数得到g（a）的最小值为g（1）0，所以g（a）0，即证得f（x）ln（ae2）2a【详解】（1）f（x）2ax+（12a），x0，当a0时，令f（x）0得：x1；令f（x）0得：0x1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1），当a0时，若1，即a时，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，+