2020届安徽省马鞍山市高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题

页 1 第 2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 理科数学试题理科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右 上角“条形码粘贴处”。 2 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1设全集 |5UxxN ， 2 |log2AxxN ，则 UA A0,4,5 B4,5 C5 D |45xx 2复数 i i1 z 的虚部为 A 1 2 B 1 2 C 1 i 2 D 1 i 2 3下图是国家统计局给出的 2014 年至 2018 年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说 法错误的是 A2017 年就业人员数量是最多的 B2017 年至 2018 年就业人员数量呈递减状态 C2016 年至 2017 年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓 D2018 年就业人员数量比 2014 年就业人员数量增长超过 400 万人 4数列 n a 为等差数列，且 2712 6aaa ，则 n a 的前 13 项的和为 A52 B 104 3 C26 D 52 3 5已知向量a1, 2，b4,m，且ab，则ab A5 B5 C7 D25 6已知奇函数 3(0) ( ) ( )(0) x a x f x h x x ，则( 2) h 的值为 就业人员（万人） 2014年2015年2016年2017年2018年 77100 77000 77500 77400 77700 77600 77300 77200 页 2 第 A 10 9 B 10 9 C8 D8 7 已知点F是抛物线:C 2 4yx的焦点， 过点F的直线交抛物线C于点P， 交y轴于点Q， 若FPFQ2， 则点P的坐标为 A 1 (2, ) 2 B( 2,1) C(1, 2) D 1 ( ,2) 2 8 西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动， 其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动 课：七巧板、健美操、剪纸203 班有包括奔奔、果果在内的 5 位同学报名参加了少年宫活动，每位同 学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法 种数为 A18 B36 C72 D144 9某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 A 16 3 B 16 9 C 32 3 D 32 9 10函数 2 (21) ( ) 2 x x f x x 的图像大致为 11已知边长为 2 的正ABC所在平面外有一点P，4PB，当三棱锥ABCP的体积最大时，三棱锥 ABCP外接球的表面积为 A 3 32 B 16 C 3 64 D 3 256 12已知函数 2sinf xx （0）的图象经过点 ,2 2 和 ,0 ，且 f x在0, 4 内不单调，则 的最小值为 A1 B3 C5 D7 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 x yxe在点1,e处的切线方程为 14已知实数x，y满足约束条件 220 24 410 xy xy xy ，则目标函数 3zxy 的最大值为 xO y xO y xO y x O y A B C D 侧视图 俯视图 正视图 2 4 21 页 3 第 15定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数 列 已知“等差比”数列 n a的前三项分别为 1 2a ， 2 3a ， 3 5a ， 则数列 n a的前n项和 n S 16已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一 点，PO c ，POF的面积为 1 2 ab，则该双曲线的离心率为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 已知ABC为锐角三角形，且sincoscossincosABABC （1）求角B的大小； （2）若2b ，求 312ac的最大值 18 （12 分） 某公司新研发了一款手机应用 APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了 400 位使 用者，每人填写一份综合评分表（满分为 100 分） 现从 400 份评分表中，随机抽取 40 份（其中男、女使 用者的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图： 女性使用者评分 男性使用者评分 7 6 7 8 9 9 1 2 5 7 0 2 2 3 4 5 6 6 7 8 9 0 3 3 3 4 4 5 6 6 8 8 2 4 4 9 0 0 1 2 2 2 9 2 记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该 APP 的态度分为三种类型：评分不小于M的称为 “满意型”，评分不大于10M 的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型” （1）求M的值，并估计这 400 名使用者中“须改进型”使用者的个数； （2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型” 使用者中随机抽取 3 人进行第二次调查，记这 3 人中的女性使用者人数为X，求X的分布列和 数学期望 19 （12 分） 如图，四边形ABCD为矩形，1AB ，3BC ，以AC为折痕将ABC折起，使点B到达点P的位 置，且P在平面ACD内的射影O在边AD上 （1）求证：APCD； （2）求二面角PACD的余弦值 页 4 第 20 （12 分） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0)ab过点 3 1, 2 M ，且M到两焦点的距离之和为4 （1）求椭圆C的方程； （2）已知不经过原点O的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点在直线OM上，求 OA OB uuu r uuu r 的取值范围 21 （12 分） 已知函数 2 e12e xx f xaax （1）当0a 时，讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个不同零点 1 x， 2 x，证明：1a 且 12 0 xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数） ，在以坐标原点O为极点， x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线: 3 l 上，且点P到极点O的距离为4 （1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标； （2）求OCP的面积 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数 2 ( )431f xxxaa （1）若函数( )f x有零点，求实数a的取值范围； （2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm， 求 22 pq的最小值 A P C D O A B C D 页 5 第 2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 理科数学试题理科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右 上角“条形码粘贴处”。 2 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C A D D B B C C B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 132 0exye 146 152 1 n n 162（提示：设左焦点为1 F，( , )P m n，由题知 1 FPF为直角三角形 ， 222 11 |PFPFFF 22 2222 2 2 ()()4 ca emaemacm e ，又 1 | | 2PFPFab 2 2 2 2aba m e ，从而ab.） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共 60 分。 17 【解析】 （1）解法 1：sincoscos sincos()cos sincoscossinsinABABABABABAB， cos (sincos )sin (sincos )BAABAA，ABC为锐角三角形，sincos0AA， cossinBB，即tan1B， 4 B （6 分） 解法 2：sincoscossincosABABC，sincoscossincosABABC， sincosABC，sinsin 2 ABC ，ABC为锐角三角形， 2 ABC ， 2 ACB ， 2 BB ， 4 B （6 分） （2）由正弦定理得2 sinsinsin acb ACB ，2sinaA，2sincC 由（1）知 4 B ， 3 4 CA 312231 sin2 2sinacAC 3 231 sin2 2sin 4 AA 22 231 sin2 2sincos 22 AAA 2 3sin2cos4sin 6 AAA ， （10 分） 页 6 第 3 A 时， 312ac取得最大值4 （12 分） 18 【解析】 （1）中位数等于 8082 81 2 ，所以81M ，40 个样本数据中共有 13 人是“须改进型”，从而可 得 400 名使用者中约 13 400130 40 人是“须改进型”使用者； （5 分） （2）不满意型使用者共 7 人，其中男性 5 人，女性 2 人， 故X的所有可能的取值为 0,1,2 （7 分） 且 3 5 3 7 2 (0) 7 C P X C ; 21 52 3 7 4 (1) 7 C C P X C ; 12 52 3 7 1 (2) 7 C C P X C 故X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 （11 分） 所以X的数学期望 2416 ()012. 7777 E X （12 分） 19 【解析】 （1）由题可得OP面ACD，OPCD，又四边形ABCD为矩形， CDAD，又AOADOI，CD面APD，APCD （5 分） （2）解法 1：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知130C ， ， 设P点坐标为 ), 0(zy （0z ） ，由1AP，3PC， 得 3)3(1 1 22 22 zy zy ， 解得 3 3 y， 3 6 z，即P点坐标为) 3 6 , 3 3 , 0(， 设),( 1 zyxn面APC，所以 APn ACn 1 1 ， 30 36 0 33 xy yz ，令 1y ，得) 2 2 , 1 , 3( 1 n， 又) 1 , 0 , 0( 2 n面ACD， 12 1 cos, 3 n n u u r uu r ，所以二面角DACP的余弦值为 3 1 （12 分） 解法 2：作PEAC交AC于点E，连接OE.由（1）知：CDAP 又APPD,CDPDDI AP面PCDCPAP. PO面ACDPOCA,又PECA,APPOPI CA面POECAOE,故PEO即为所求二面角的平面角.在Rt APCV, Rt APDV中易求得 6 3 PO , 3 2 PE , z A C D O P x y 页 7 第 Rt OPEV中， 22 1 cos. 3 PEPO PEO PE （12 分） 20 【解析】 （1）由题可得 1 4 31 42 22 ba a ， 解得 1 2 b a ， 所以曲线C的方程为1 4 2 2 y x （4 分） （2） （方法一）易知直线l 斜率存在且不等于 0，所以 12 0yy 设),( 11 yxA， 22 (,)B xy得 1 4 1 4 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x 两式相减得 1212 1212 3 4()6 yyxx xxyy ，即 3 6 AB k （7 分） 设直线AB的方程为 3 (0) 6 yxm m ，联立方程 mxy yx 6 3 44 22 化简得0333 22 mmxx 因为直线l交椭圆于A,B两点，故 2 9120m，解得 2 4 0 3 m （8 分） 又 12 3xxm， 2 12 33x xm （9 分） 2 21212121 )( 6 3 12 1 ) 6 3 )( 6 3 (mxxmxxmxmxyy 所以 2 1212 151313 7 444 4 OA OBx xy ym uuu r uuu r ， （12 分） （方法二）易知直线l斜率存在且不等于 0，故设直线AB的方程为 (0)ykxm m 联立方程组 mkxy yx44 22 ，化简得0448)41 ( 222 mkmxxk 2 21 41 8 k km xx ， 2 2 21 41 44 k m xx ， 2 21 41 2 k m yy 因为线段AB的中点在直线OM上，所以 2 3 4 1 21 21 kxx yy ，求得 6 3 k （7 分） 后面解法同解法一 （12 分） 21 【解析】 （1） 2 2 e12e1e1 2 e1 xxxx fxaaa 因为0a ，由 0fx得，0 x 或 1 ln 2 x a （2 分） i） 1 ln0 2a 即 1 2 a 时， f x在 1 ,ln 2a 单调递减，在 1 ln,0 2a 单调递增，在0, 单调递减； ii） 1 ln0 2a 即 1 2 a 时， f x在, 单调递减； 页 8 第 iii） 1 ln0 2a 即 1 0 2 a时， f x在,0单调递减，在 1 0,ln 2a 单调递增，在 1 ln, 2a 单调递减 （6 分） （2）由（1）知， 1 2 a 时， f x的极小值为 111 ln1ln10 242 f aaa ， 1 0 2 a时， f x的极小值为 0110fa ， 1 2 a 时， f x在, 单调，故0a 时， f x至多有一个零点 当0a 时，易知 f x在,0单调递减，在0,单调递增 要使 f x有两个零点，则 00f，得1a （9 分） 令 F xf xfx， （0 x ） ， 则 Fxfxfx 2 2 e12e1 xx aa 2 2 e12e1 xx aa 2ee1 ee2ee20 xxxxxx a ，所以 F x在0 x 时单调递增， 00F xF， f xfx 不妨设 12 xx，则 1 0 x ， 2 0 x ， 2 0 x， 122 f xf xfx 由 f x在,0单调递减得， 12 xx ，即 12 0 xx （12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23