2020届四川省眉山市仁寿县高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2020届四川省眉山市仁寿县高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1若集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先解不等式得，然后求交集即可.【详解】解:因为解不等式,得,即，解不等式,得或,即，所以.故选:C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了并集的运算，属基础题.2已知，若，则的值为（ ）A0BCD【答案】C【解析】先由复数的运算可得，再结合复数模的运算即可得解.【详解】解：因为，又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题.3已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】分别计算与，的大小关系得到答案.【详解】，所以.故选：【点睛】本题考查了数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的综合应用.4若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.【详解】解：因为，所以，又，所以，又，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.5函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】先由函数解析式可得函数为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.【详解】解：由已知可得函数的定义域为，且，则函数为奇函数，则函数的图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，排除B，故A正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.6已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先由已知求得，再结合等差数列、等比数列前项和公式分组求和即可得解.【详解】解：由数列满足，由等差中项的概念可得：为等差数列，设公差为，则，解得，则，从而.又，结合等差数列、等比数列前项和公式可得：.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列前项和公式，重点考查了分组求和的方法，属中档题.7设是公差大于零的等差数列，为数列的前项和，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由是公差大于零的等差数列，且，可得，即；由，则当时，即.综合即可得解.【详解】解：由是公差大于零的等差数列，且，可得，又，即；反之，由，则当时，即.综上可得“”是“”的充要条件，故选：C.【点睛】本题考查了数列的有关运算，重点考查了充分必要条件，属基础题.8若函数的图象关于直线对称，则在上的单调递增区间为（ ）ABCD和【答案】D【解析】由已知可得，再结合函数单调区间的求法即可得解.【详解】解：由，得，又， 所以，即，由，解得， 所以的单调递增区间为，又，所以单调递增区间为，.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数单调区间的求法，属基础题.9若函数在上有零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】化简得到，即函数的图象与直线在上有公共点，画出图像得到答案.【详解】，即即函数的图象与直线在上有公共点直线过定点且斜率为，如图所示：曲线在上的两个端点与点连线的斜率分别为，结合图象分析可知.故选：【点睛】本题考查了函数的零点问题，转化为图像的交点是解题的关键.10如图，正方体的棱长为，为的中点，动点从点出发，沿运动，最后返回.已知的运动速度为，那么三棱锥的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数图象大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】讨论点在线段、上运动，求解体积即可得答案.【详解】（1）当时，在线段上运动，此时，所以；（2）当时，在线段上，因为平面，所以到平面的距离为定值，所以为定值，；（3）当时，在线段上，取的中点，此时，同理可得，所以；（4）当时，在线段上，因为平面，所以到平面的距离为定值，所以为定值，.故选：B.【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式及空间想象力，本题的难点在于动点在不同的线段上运动时需要分别求体积，属于难题.11设函数的定义域为，且.当时，且在上的最大值为，则（ ）ABC或D或【答案】A【解析】由及在上的最大值为，则在上的最大值为.构造函数，利用导数研究方程的解的情况即可得解.【详解】解：因为，所以，又因为在上的最大值为，所以在上的最大值为.因为，所以，所以在上有最大值.令，得，则，即.所以，且.设，则，即关于的函数在上单调递减，又，所以关于的方程在上只有唯一解.故选：A.【点睛】本题考查了函数性质的应用，重点考查了利用导数研究函数的单调性及最值，属中档题.二、填空题12若，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】-2【解析】首先作出可行域，然后作出初始目标函数，然后判断目标函数的最小值.【详解】如图，作出可行域，由图象可知，当目标函数过点C时，函数取值最小值，.故答案为：-2【点睛】本题考查线性规划，意在考查基础知识和计算能力，属于基础题型.13已知向量，若，则_.【答案】-2【解析】由向量加法的坐标运算可得，再由向量垂直的坐标运算即可得解.【详解】解：因为向量，则，又，由，可知，即.故答案为：-2.【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，重点考查了向量数量积的坐标运算，属基础题.14设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则_.【答案】18【解析】先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.【详解】解：因为，所以，.故答案为：18.【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.15在中，内角，的对边分别为，已知，则_.【答案】【解析】根据正弦定理得到，解得，代入余弦定理计算得到答案.【详解】，得，又因为，得，则.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.16已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为_.【答案】【解析】变换得到，则点为的顶点时取最大值，计算得到答案.【详解】正的边长为1，则高为，内切圆半径为如图所示，当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了向量的最值计算，变换得到是解题的关键.三、解答题17已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】（1）设则，计算，利用奇函数性质可得，当时，即可求出解析式（2）分类讨论求解不等式即可.【详解】（1）若，则.因为当时.，所以因为是奇函数，所以.因为是定义在R上的奇函数，所以.故（2）当时，解得当时，则是不等式的解；当时，.解得.又，所以.故原不等式的解集为【点睛】本题主要考查了利用奇函数性质求解析式，解分段函数形式的不等式，分类讨论，属于中档题.18的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求C；若，求，的面积【答案】(1)(2)【解析】由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解【详解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，即，又，或舍去，可得，由正弦定理，可得，【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用公式代入计算得到答案.（2）先计算得到，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，所以当时，即，当时，所以，所以.（2），于是，由-，得，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20如图，在三棱锥中，二面角的大小为120，点在棱上，且，点为的重心.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，并延长与相交于点，连接，可证得，从而得证；（2）过点在中作，与相交于点，可得，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面的法向量和平面的一个法向量为，再求得，进而利用同角三角函数关系即可得解.【详解】（1）证明：连接，并延长与相交于点，连接，因为点为的重心，所以，在中，有，所以，则平面，平面，所以平面；（2）解：过点在中作，与相交于点，因为，则为二面角的平面角，则。以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以记平面的法向量，则令，得到平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，令，得到平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，即二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及求解二面角，利用空间直角坐标系正确写点坐标是解题的关键，属于中档题.21明初出现了一大批杰出的骑兵将领，比如徐达、常遇春、李文忠、蓝玉和朱棣.明初骑兵军团击败了不可一世的蒙古骑兵，是当时世界上最强骑兵军团.假设在明军与元军的某次战役中，明军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；元军有8位将领，善用骑兵的有4人.（1）现从明军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；（2）在明军和元军的将领中各随机选取2人，为善用骑兵的将领的人数，写出的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）由概率运算公式及对立事件的概率的求法求解即可；（2）由题意有随机数，再求出对应的概率，然后求出分布列，期望即可.【详解】解：（1）设从明军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为，故从明军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为.（2）由题意知，则，所以的分布列为01234.【点睛】本题考查了随机变量的期望与分布列，重点考查了运算能力，属中档题.22已知函数.（1）讨论的单调性.（2）是否存在实数，对任意的，且，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】（1）先求导函数得，再讨论的符合即可得函数的单调性；（2）将不等式变形为，再构造函数，则