北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学（文）试题含解析

2019-2020学年临川学校高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数的虚部为（）AiBiCD2（5分）设集合Mx|x22x0，Nx|x1，则MN（）Ax|x1Bx|2x1Cx|0x1Dx|2x03（5分）已知tan3，则cos2（）ABCD4（5分）某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，则a与b未同时被选中的概率为（）ABCD5（5分）x0，使得，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da26（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC4D87（5分）设向量，满足+（3，1），1，则|（）A2BC2D8（5分）设an为等差数列，a122，Sn为其前n项和，若S10S13，则公差d（）A2B1C1D29（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）ABCD10（5分）已知函数f（x）ex+ax1的图象与x轴相切，则a（）A1B0CD111（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SAAB，M为SA的中点，C为弧AB的中点设直线MC与直线SO所成角为，则tan（）ABCD12（5分）已知点P在圆x2+y24上，A（2，0），B（2，0），M为BP中点，则sinBAM的最大值为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为 14（5分）已知函数，则不等式f（x）1的解集为 15（5分）已知Sn是数列an的前n项和，Sn2an，则S5 16（5分）若函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象关于点（，0）对称，且f（x）在0，上单调递减，则 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17如图，在梯形ABCD中，AD90，M为AD上一点，AM2MD2，BMC60（1）若AMB60，求BC；（2）设DCM，若MB4MC，求tan18在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面CBB1C1是菱形，C1CB60，平面ABC平面CBB1C1，M为BB1的中点，ACBC（1）证明：CC1平面A1C1M；（2）若CACB2，求三棱锥C1A1CM的体积19近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如表：年份2008200920102011201220132014201520162017年份序号x12345678910工业增加值y13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值5.520.682.5211.52129.6（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y（万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数yevx，其拟合指数R20.93；研究人员乙采用函数ymxn，其拟合指数R20.95；研究人员丙采用线性函数ybx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好（注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2r2）（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数，20已知椭圆，离心率，过点M（1，1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点当lx轴时，（1）求椭圆C的方程；（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值21已知函数f（x）2alnx+x24x+3（a0）（1）若f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）0（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22在极坐标系中，直线，圆C：4sin以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值23已知f（x）|x+1|+|x1|1（1）解不等式f（x）x+1；（2）证明：3f（x）f（2x） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数的虚部为（）AiBiCD【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为+i，从而得到他的虚部【解答】解：复数+i，故此复数的虚部为，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）设集合Mx|x22x0，Nx|x1，则MN（）Ax|x1Bx|2x1Cx|0x1Dx|2x0【分析】由一元二次不等式的解法得：M，由集合的交集的运算得：MN，得解【解答】解：由一元二次不等式的解法得：因为x22x0，解得0x2，即M，又Nx|x1，所以MN，故选：C【点评】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题3（5分）已知tan3，则cos2（）ABCD【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果【解答】解：知tan3，则cos2故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4（5分）某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，则a与b未同时被选中的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n6，a与b未同时被选中的对立事件是a与b同时被选中，由此利用对立事件概率计算公式能求出a与b未同时被选中的概率【解答】解：某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，基本事件总数n6，a与b未同时被选中的对立事件是a与b同时被选中，a与b未同时被选中的概率为：p1故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）x0，使得，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da2【分析】问题转化为阿 a（x+）min，再用基本不等式求最小值【解答】解：x0，使得+xa0，等价于a（x+）min，x+22，（当且仅当x1时取等）故a2故选：B【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题6（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC4D8【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图：是正方体的一部分，几何体的体积为：故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键7（5分）设向量，满足+（3，1），1，则|（）A2BC2D【分析】配方变形得|，再代入已知可得【解答】解：|故选：B【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题，8（5分）设an为等差数列，a122，Sn为其前n项和，若S10S13，则公差d（）A2B1C1D2【分析】根据等差数列的求和公式即可求出【解答】解：S10S13，a122，1022+d1322+d，解得d2，故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题9（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）ABCD【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x，准线方程与双曲线的渐近线方程yx，联立解得y，可得|AB|，ABF为等边三角形，可得p，即有，则e故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x）ex+ax1的图象与x轴相切，则a（）A1B0CD1【分析】求出函数的导数，讨论a是否为1，求出极值点，利用极值为0，求出a的值即可【解答】解：f（x）ex+ax1，f（x）ex+a，若f（x）的图象与x轴相切，y0是函数的切线方程，当a1时，x0是函数的极值点，并且f（0）0，满足题意；a0不满足题意故选：A【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想的应用考查计算能力11（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SAAB，M为SA的中点，C为弧AB的中点设直线MC与直线SO所成角为，则tan（）ABCD【分析】先作图作出直线MC与直线SO所成角，再在直角三角形中求其正切值即可【解答】解：设圆的半径为R，则有SO，EMR，过M作MEAO交AO于点E，易得EMC为直线MC与直线SO所成角，在RtCOE中，ECR，在RtMEC中，tanEMC，故直线MC与直线SO所成角为，则tan，故选：C【点评】本题考查了作图能力及空间两异面直线所成的角，属中档题12（5分）已知点P在圆x2+y24上，A（2，0），B（2，0），M为BP中点，则sinBAM的最大值为（）ABCD【分析】设 P（2cos，2sin），则M（1+cos，sin）先求出AM的斜率的最大值，在得出sinNAM的最大值【解答】解：设 P（2cos，2sin），则M（1+cos，sin），tanBAM，sinBAM，故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由zx+2y，得yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+的截距最大，此时z最大由，得A（0，1），此时z的最大值为z0+212，故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14（5分）已知函数，则不等式f（x）1的解集为（1，e1）【分析】分段求解x的范围即可；【解答】解：函数，不等式f（x）1，即或解得：1x0或0xe1不等式f（x）1的解集为：（1，e1）故答案为：（1，e1）【点评】本题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题15（5分）已知Sn是数列an的前n项和，Sn2an，则S5【分析】n2时，由Sn2an，可得Sn2（SnSn1），化为Sn2（Sn12），利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：n2时，Sn2an，Sn2（SnSn1），Sn2（Sn12），n1时，a12a1，解得a11S121数列Sn2是等比数列，首项为1，公比为Sn2，S52故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）若函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象关于点（，0）对称，且f（x）在0，上单调递减，则3【分析】由三角函数的对称性得：k，由单调性及集合的包含关系得：0，再观察求解即可【解答】解：令x+k，由函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则有x为方程x+k的一个根，即k，又令2k+x+2k，解得：，即函数的减区间为，又f（x）在0，上单调递减，所以0，所以0，即，即6k3，kZ又，即6，所以3，故答案为：3【点评】本题考查了三角函数的对称性、单调性及集合的包含关系，属中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17如图，在梯形ABCD中，AD90，M为AD上一点，AM2MD2，BMC60（1）若AMB60，求BC；（2）设DCM，若MB4MC，求tan【分析】（1）利用直角三角形的边角关系求得MB、MC的值，再利用余弦定理求得BC的值；（2）用DCM，利用直角三角形的边角关系求出MC、MB的值，由MB4MC列出关系式求得tan的值【解答】解：（1）由BMC60，AMB60，得CMD60，在RtABM中，MB2AM4，在RtCDM中，MC2MD2；在MBC中，由余弦定理得，BC2BM2+MC22BMMCcosBMC16+4212，所以BC2；（2）因为DCM，所以ABM60，060，在RtMCD中，MC，在RtMAB中，MB，由MB4MC，得，即2sin（60）sin，化简得cos2sin，求得tan【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题18在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面CBB1C1是菱形，C1CB60，平面ABC平面CBB1C1，M为BB1的中点，ACBC（1）证明：CC1平面A1C1M；（2）若CACB2，求三棱锥C1A1CM的体积【分析】（1）在菱形BB1C1C中，由已知解三角形可得CC1C1M，再由面面垂直的性质可得AC平面CBB1C1，得到ACCC1，再由线面垂直的判定可得CC1平面A1C1M；（2）由（1）知，CC1平面A1C1M，CC1C1M，再由已知结合等积法求三棱锥C1A1CM的体积【解答】（1）证明：在菱形BB1C1C中，M为BB1 的中点，MB1C160，设BC2a，则MB1a，B1C12a，可得B1MC1M，则CC1C1M；平面ABC平面CBB1C1，且平面ABC平面CBB1C1BC，ACBC，AC平面CBB1C1，则ACCC1，则CC1A1C1又A1C1C1MC1，CC1平面A1C1M；（2）解：由（1）知，CC1平面A1C1M，CC1C1M，CACB2，则【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如表：年份2008200920102011201220132014201520162017年份序号x12345678910工业增加值y13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值5.520.682.5211.52129.6（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y（万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数yevx，其拟合指数R20.93；研究人员乙采用函数ymxn，其拟合指数R20.95；研究人员丙采用线性函数ybx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好（注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2r2）（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数，【分析】（1）根据相关数据求出r的值，求出R2的值即可；（2）求出相关系数，从而求出回归方程；（3）分别求出y的预报值，判断即可【解答】解：（1）r0.981，R2r20.962，R2越大，拟合效果越好，故丙的拟合效果最好；（2）1.571，20.65.511.96，故回归方程是：1.57x+11.96；（3）从2008年开始计数，2018年是第11年，其工业增加值y的预报值1.5711+11.9629.2330，2019年是第12年，其工业增加值y的预报值1.5712+11.9630.8030，故预测到2019年工业增加值能突破30万亿元大关【点评】本题考查了拟合指数，考查回归方程以及函数求值，是一道常规题20已知椭圆，离心率，过点M（1，1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点当lx轴时，（1）求椭圆C的方程；（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值【分析】（1）先由离心率得出a2b，由对称性得出点在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆C的方程，求出b和a的值，从而可得出椭圆C的方程；（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论当直线l与x轴垂直时，求出点A、B的坐标，再利用斜率公式求出kNA+kNB的值；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k（x+1），并设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并代入韦达定理计算出kNA+kNB的值，结合证明出结论【解答】解：（1）由于椭圆C的离心率为，所以，a2b，则椭圆C的方程为，由于当lx轴时，所以，点在椭圆C上，将点的坐标代入椭圆方程得，解得b1，则a2b2，因此，椭圆C的方程为；（2）当直线l与x轴垂直时，设点、，点N的坐标为（0，1），此时，；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1k（x1），即ykxk1，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（4k2+1）x28k（k+1）x+4k（k+2）0，由韦达定理得，所以，综上所述，kNA+kNB为定值2【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程与几何性质，同时也考查了韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题21已知函数f（x）2alnx+x24x+3（a0）（1）若f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）0【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性得到a（x2+2x）max，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，求出f（x1）+f（x2）2alna2a+2，令g（a）2alna2a+2，0a1，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）+2x4，（x0，）由f（x）递增，故f（x）0，即+2x40恒成立，a（x2+2x）max1，当且仅当x1时取“”，即a1；（2）证明，由（1）得：f（x），由题意得f（x）的两个零点是x1，x2，故0a1，且x1+x22，x1x2a，故f（x1）+f（x2）2alnx1+4x1+3+2alnx2+4x2+32aln（x1x2）+2x1x2+62alna2a+2，令g（a）2alna2a+2，0a1，则g（a）2lna0，g（a）递减，g（1）0，g（a）0，f（x1）+f（x2）0【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22在极坐标系中，直线，圆C：4sin以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化的规则，以及直角坐标方程与参数方程转化规则易得直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，故可用点到直线的距离公式计算出点P到直线l的距离，再由坐标的几何意义计算出点P到x轴的距离，将d1+d2的值表示为