中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（文）试题答案（一卷）（扫描版）

第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 文科数学文科数学（一一卷）答案卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D A B B B C B A D C 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. )(1,00,1 14. (0,24 15. () 1 ,00, 2 16. 1 4 三、 解答题三、 解答题： 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 解：记 A 表示事件：考生选择生物学科 B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科； C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门学科； D 表示事件：选择生物但不选择物理 E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科 （1）( )( )0 50 2P A.P B.CAB=，,AB = 2 分 ( )()( )( )0.7P CP ABP AP B=+= 5 分 （2）由某校高二段 400 名学生中，选择生物但不选择物理的人数为 140， 可知( )350.DP= 7 分 因为DEA= 9 分 ( )( )( )15. 035. 05 . 0=DPAPEP 12分 第2页 共 5 页 18解： （1）设数列 n a的公差为 d（0d ） ， 由题意得 = = 51 2 2 1 1 aaa a ，解得 = = 2 1 1 d a 3 分 所以 2 , 12nSna nn = 6 分 （2）因为 ()() + = + = + = 1 11 4 1 14 1 112 1 2 nnnnn bn 9 分 所以 ()41 n n T n = + 12 分 19解（1） 由已知AP面PCD，可得APPC，AP CD， 由题意得，ABCD为直角梯形，如图所示，易得/ / BECD,所以， APBE 又因为 BEAC，所以 BE面APC,故 BE PO 3 分 在直角梯形ABCD中22?ACABAPAPPC=， ， 所以PAC为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点，所以POAC ABCD,面=BEOACBE ，所以PO平面ABCD 6 分 （2）法一：以O为原点，分别以OBOCOP， 为x轴，y轴，z轴的建立直角坐标系 不妨设1BO = A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0), 设( , , )nx y z=是平面PBD的法向量 满足 0 0 n PB n BD = = ,所以 0 30 xz xy += += ， 则令1x = ， 解得 (1,3,1)n =9 分 2 22 sincos, 11 AB n AB n ABn = 12 分 法二： （等体积法求 A 到平面 PBD 的距离） 第3页 共 5 页 设AB=1， 点A到平面PBD的距离为h， 计算可得 PB=1,PD=3 ,BD=5 , 4 11 = PBD S A PBDP ABD VV = 9 分 POShS ABDPBD = 3 1 3 1 ,1, ABD S= 2 2 PO = 解得 2 22 11 h = 11 分 2 sin22 11 h AB = 12 分 20解（1）x x a x+ln在(1 , 0恒成立，得xxxaln在(1 , 0恒成立。 令xxxxhln)(=，则( ) x xx x 2 2ln2 h = 2 分 令, 2ln2)(=xxxu则( ) 11 0u x xx =在(1 , 0恒成立， 所以在(1 , 0上，( )( ), 01 =uxu所以在(1 , 0上( )0 xh， 所以( )xh在(1 , 0上递增，所以在(1 , 0上( )( )11 = hxh，所以1a 5 分 （2）即证： 4 1 lnlnmnnm，,(0,1)m n 由 （1） 知，x x x+ 1 ln， 即 x x x 1 ln， 当且仅当1=x时取到等号， 因为,(0,1)m n， 所以 n m n n n m n m m m= = 1 ln0 , 1 ln0，所以mnnmlnln，9 分 所以 4 1 4 1 2 1 mlnln 2 + =mnmnnmnnm，即 22 1 ( ) ( )( )( ) 4 f m f ngm gn 成立 12 分 21解： （1）显然l的斜率存在且不为 0， 第4页 共 5 页 设1:+=myxl，则0: =+mymxl， 由题意，得 + + + 4 33 , 4 33 1 1 23 2 m m m 2 分 所以直线 l斜率的取值范围为 + 4 33 , 4 33 . 4 分 （2）设),(),( 2211 yxByxA联立方程组 = += xy myx 4 1 2 ，得 044 2 = myy，即4,4 2121 =+yymyy 6 分 ()1416161m1AB 222 21 2 +=+=+=mmmyy 7 分 O 到直线 AB 的距离为 1 1 2 +m ， () 22 AOB 2 11 S4 m121 2 1 m m =+=+ + 9 分 + 4 33 , 4 33 m, + + 8 3314 , 8 3314 1 2 m， 22 3 623 62 143 3,143 3 22 + =+= 2 3 3 1 3 31 1, 44 m + + ，即 3 31 3 31 , 22 OAB S + 所以AOB面积的取值范围是 3 31 3 31 , 22 + 12 分 （二）选考题：共二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分作答时请写清题号作答时请写清题号 22 【选修 【选修 44：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 解： （1） 1 C的普通方程为() () 2 2 134xy+= ， 2 分 ain = = 2 1 cos 2 3 s 6 sin，即023=+ayx 第5页 共 5 页 曲线的直角坐标方程为023=+ayx 5 分 （2）由于圆的半径为 2，圆上恰有一个点到直线023=+ayx的距离为 1，所以 圆心()31 ，到直线023=+ayx的距离为 3， 7 分 由3 2 231 = + = a d，可得51= 或a， 9 分 曲线的直角坐标方程为023=+yx或0103=yx 10 分 23 【选修 【选修 45：不等式选讲】：不等式选讲】 （1）解：原不等式化为125210 xx+ + 当 5 2 x 时，原不等式为1 (25)210 xx+ + 得52x +，即 5 52 2 x+； 当 5 1 2 x 时，原不等式为1 (25)210 xx+ + 得 52 3 x ， 即 525 32 x ； 当1x 时，原不等式为()1(25)