2020届河南省开封市高考一模试卷数学（文科 ）

第 1 页，共 10 页 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）年河南省开封市高考数学一模试卷（文科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 A=x|x-2 或 x3，B=N，则 B（RA）=（ ） A. -1，0，1，2 B. -1 C. -1，0 D. 0，1，2 2. 复数的实部小于虚部，则实数 a 的取值范围是（ ） A. （-，0） B. （-，1） C. （0，+） D. （1，+） 3. 设 与 都是非零向量，则“ ”是“向量 与 夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则 tan2=（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在m-5，1-2m上的奇函数 f（x），满足 x0 时，f（x）=2 x-1，则 f（m） 的值为（ ） A. -15 B. -7 C. 3 D. 15 6. 某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为 A，B，C，D， E 五个等级，A等级 15%，B等级 30%，C 等级 30%，D，E 等级共 25%其中 E 等级为不合格，原则上比例不超过 5%该省某校高二年级学生都参加学业水平考 试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该校 高二年级共有1000名学生， 则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有 （ ） A. 45 人 B. 660 人 C. 880人 D. 900 人 7. 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15 的观礼台上，某一列 座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上， 在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶 端的仰角分别为 60 和 30 ，且第一排和最后一排的距离为 10米，则旗杆的高度 为（ ）米 第 2 页，共 10 页 A. 20 B. 30 C. 30 D. 35 8. 设函数 f（x）=alnx+bx 3在点（1，-1）处的切线经过点（0，1），则实数 a+b的值 为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 9. 已知Fn是斐波那契数列，则 F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2 （nN*且 n3），如图程序框图表示输出斐波那契数列 的前 n 项的算法，则 n=（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 10. 已知双曲线 C：的左、 右焦点分别为 F1 ， F2， 圆 O： x2+y2=a2+b2 与C在第一象限的交点为M， 若MF1F2的面积为ab， 则双曲线C的离心率为 （ ） A. B. C. 2 D. 11. 将函数 f（x）=asinx+bcosx的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）的图象，若 g （x）的对称中心为坐标原点，则关于函数 f（x）有下述四个结论： f（x）的最小正周期为 2 若 f（x）的最大值为 2，则 a=1 f（x）在-，有两个零点 f（x）在区间- ， 上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A. B. C. D. 12. 已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线 所成的角相等，则该正方体在平面 内的正投影面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知向量，若 ，则 m=_ 14. 已知点 A （0， 2） ， 动点 P （x， y） 的坐标满足条件， 则|PA|的最小值是_ 第 3 页，共 10 页 15. 如图，两个同心圆的半径分别为 1和 2，点 M 在大圆上从 点 M0出发逆时针匀速运动，点 N在小圆上从点 N0出发顺 时针匀速运动图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON 分 别扫过的扇形假设动点 M，N 运动了两秒钟，在 OM， ON 扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率 是_ 16. 若数列an满足，则称 数列an为“差半递增”数列若数列an为“差半递增”数列，且其通项 an与前 n 项和 Sn满足，则实数 t的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知等差数列an满足 an+1+n=2an+1 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列 的前 n项和 Tn 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（1，0），动点 Q 到点 F 的距离比到 y轴的距 离大 1 个单位长度 （1）求动点 Q的轨迹方程 E； （2） 若过点 F的直线 l与曲线 E交于 A， B 两点， 且， 求直线 l的方程 19. 底面 ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如 图所示的几何体若 DA=DH=DB=4，AE=CG=3 （1）求证：EGDF； （2）求三棱锥 F-BEG的体积 第 4 页，共 10 页 20. 某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分 10分的选做题，学生可以从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校 学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从 900名考生的 选做题成绩中随机抽取一个容量为 10的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按 照随机顺序依次编号为 001900 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为 001090 的成绩中用简单随机抽样确定的 成绩编号为 025，求样本中所有成绩编号之和； （2）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B题目，将成绩分为两层已知该 校高三学生有 540人选做 A 题目，有 360 人选做 B题目，选取的样本中，A题目的 成绩平均数为 5，方差为 2，B题目的成绩平均数为 5.5，方差为 0.25 （i）用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差； （ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和 B 题 目成绩的中位数都是 5.5从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步 调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率 21. 已知函数，aR，e 为自然对数的底数 （1）当 a=1时，证明： x（-，0，f（x）1； （2）若函数 f（x）在上存在极值点，求实数 a 的取值范围 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数），以坐标原 点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = （1）求曲线 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程； （2）设 P 是曲线 C1上一点，此时参数 = ，将射线 OP 绕原点 O逆时针旋转 交曲 线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为点 T，求OTQ 的面积 第 5 页，共 10 页 23. 已知 a，b，c为一个三角形的三边长证明： （1） + + 3； （2）2 第 6 页，共 10 页 答案答案 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】B 13.【答案】1 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：（1）由已知an为等差数列，记其公差为 d 当 n2时，两式相减可得 d+1=2d， 所以 d=1， 当 n=1 时，a2+1=2a1+1，所以 a1=1 所以 an=1+n-1=n； （2）， 所以= 【解析】 （1）设等差数列的公差为 d，将已知等式中的 n换为 n-1，相减可得公差 d=1， 再令 n=1，可得首项，进而得到所求通项公式； （2）由等差数列的求和公式可得 Sn，求得，再由数列的裂项相 消求和，化简可得所求和 本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算 能力，属于中档题 18.【答案】解：（1）根据抛物线的定义，知动点 Q的轨迹是以 F 为焦点，以 x=-1 为 准线的抛物线， 所以动点 Q的轨迹方程 E为：y2=4x （2）当 l的斜率不存在时，可知，不符合条件； 当 l的斜率存在且不为 0时，设 l：y=k（x-1）， 第 7 页，共 10 页 则，联立可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，x1x2 =1 因为向量，方向相反，所以= ， 所以 k2=1，即 k= 1， 所以直线 l的方程为 y=x-1或 y=-x+1 【解析】（1）由抛物线的定义可知求出 Q的轨迹方程； （2）设直线方程与抛物线联立，根与系数的关系及数量积可得直线 l的方程 考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题 19.【答案】（1）证明：连接 AC，由 AECG，AE=CG，可知四边形 AEGC为平行四 边形，EGAC， 由题意知 ACBD，ACBF，EGBD，EGBF， BDBF=B，EG平面 BDHF， 又 DF 平面 BDHF，EGDF； （2）解：设 ACBD=O，EGHF=P， 由已知可得：平面 ADHE平面 BCGF， EHFG，同理可得：EFHG， 四边形 EFGH为平行四边形，得 P为 EG的中点， 又 O 为 AC的中点，OPAE且 OP=AE， 由 OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得 BF=2 EAFB，FB 平面 BCGF，EA 平面 BCGF，EA平面 BCGF， 点 A到平面 BCGF 的距离等于点 E到平面 BCGF的距离，为 = 【解析】（1）连接 AC，由题意可知四边形 AEGC为平行四边形，得到 EGAC，再由 已知证明 EGBF，可得 EG平面 BDHF，进一步得到 EGDF； （2）设 ACBD=O，EGHF=P，由已知证明 EHFG，EFHG，得到四边形 EFGH 为平行四边形，则 P为 EG的中点，由 OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得 BF=2求 出三角形 BFG的面积，再证明 EA平面 BCGF，可得点 A到平面 BCGF 的距离等于点 E 到平面 BCGF 的距离然后利用等积法求三棱锥 F-BEG 的体积 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力 与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 20.【答案】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以 25 为首项，以 90 为公差的等差数列， 所以样本编号之和即为该数列的前 10项之和， 所以； （2）（i）由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中 A题目的成绩有 6 个，按分 值降序分别记为 x1，x2，x6； B 题目的成绩有 4 个，按分值降序分别记为 y1，y2，y3，y4； 第 8 页，共 10 页 记样本的平均数为 ，样本的方差为 s2； 由题意可知，=， ，i=1，2，6； ，i=1，2，4； =； 所以估计该校 900名考生选做题得分的平均数为 5.2，方差为 1.36 （ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和 B 题目成 绩的中位数都是 5.5， 易知样本中 A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 3 个，分别为 x1，x2，x3； B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 2 个，分别为 y1，y2； 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种 10 方法，为： （x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2），（x 1，y1）， （x2，y1），（x3，y1），（x1，y2），（x2，y2），（x 3，y2）， 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有 6种，为： （x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x1，y2），（x 2，y2），（x3，y2）； 记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据， 取到的两个成绩来自不同题目”为 事件 A， 所以 【解析】（1）按照系统抽样方法抽出的编号组成等差数列，计算编号之和即为该数列 的前 10项和，求出即可； （2）（i）由题意分别计算样本的平均数和方差，由此估计所求的平均数和方差； （ii）由题意知样本中 A、B 题目的成绩大于样本平均值的成绩个数，用列举法求出基 本事件数，再计算所求的概率值 本题考查了统计数据分析与古典概型的概率计算问题， 也考查了分析问题与解答问题的 能力，是中档题 21.【答案】解：（1）当 a=1时，则， 当 x（-，0时，0ex1，则，又因为 cosx1， 所以当 x（-，0时，仅 x=0时，f（x）=0， 所以 f（x）在（-，0上是单调递减，所以 f（x）f（0）=1，即 f（x）1 （2），因为，所以 cosx0，ex0， 当 a0时，f（x）0恒成立，所以 f（x）在上单调递增，没有极值点 当 a0 时，在区间上单调递增， 第 9 页，共 10 页 因为，f（0）=-a+1 当 a1 时，时，f（x）f（0）=-a+10， 所以 f（x）在上单调递减，没有极值点 当 0a1 时，f（0）=-a+10，所以存在，使 f（x0）=0， 当时，f（x）0，x（x0，0）时，f（x）0， 所以 f（x）在 x=x0处取得极小值，x0为极小值点 综上可知，若函数 f（x）在上存在极值点，则实数 a（0，1） 【解析】 （1） 把 a=1 代入， 直接用导数法证明即可； （2） 对 f （x） 求导， 对 a进行讨论，判断函数 f（x）的极值，确定 a 的范围 本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大 22.【答案】解：（1）由（为参数），消去参数 ， 可得曲线 C1