根轨迹法课程设计

1、根轨迹法简介、根轨迹法简介-1 2、林士谔、林士谔赵访熊法（劈因子法）赵访熊法（劈因子法）-3 3、根轨迹的在系统性能分析、根轨迹的在系统性能分析-4 4、心的体会、心的体会-8 附录附录1-9 附录附录 2 -11 参考文献参考文献-14 1 1、根轨迹法简介、根轨迹法简介 1948 年，W.R.Evans 提出了一种求特征根的简单方法，并且在控制系统 的分析与设计中得到广泛的应用。这一方法不直接求解特征方程，用作图的 方法表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系，当这一参数取特定 值时，对应的特征根可在上述关系图中找到。这种方法叫根轨迹法。根轨迹 法具有直观的特点，利用系统的根轨迹可以分析结构和参数已知的闭环系统 的稳定性和瞬态响应特性，还可分析参数变化对系统性能的影响。在设计线 性控制系统时，可以根据对系统性能指标的要求确定可调整参数以及系统开 环零极点的位置，即根轨迹法可以用于系统的分析与综合。 利用根轨迹分析和设计 闭环控制系统 的图解方法。特征方程的根随某 个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。在控制系 统的分析中，对特征方程根的分布的研究，具有重要的意义。当特征方程的 次数不高于 2 时,其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高 于 2 时，求根过程将变得相当复杂。美国学者W.R.埃文斯在 1948 年提出 的根轨迹方法 ，为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。在把 根轨迹技术应用于控制系统的分析时，常取系统的开环增益为可变参数, 据此作出的根轨迹 ,表示闭环控制系统的极点在不同开环增益值下的分布。 控制系统的极点在复数平面上的位置与系统的 稳定性和过渡过程性能有密 切的关系。根轨迹的建立，为分析控制系统在不同开环增益值时的行为提供 了方便的途径。对于设计控制系统的校正装置，根轨迹法也是基本方法之一。 根轨迹法和频率响应法被认为是构成 经典控制理论 的两大支柱。 对于图 1 中的控制系统 ,用 G(s)和 H(s)分别表示系统前馈通道和反馈 通道中部件的传递函数，并且当 s=0 时它们的值均为 1,而 K 表示系统的开 环增益，则控制系统的根轨迹条件可表示为： 相角条件：开环传递函数 KG(s)H(s)的相角值 KG(s)H(s)1800(2k+1) (k0,1,2,) 2 幅值条件：开环传递函数 KG(s)H(s)的模KG(s)H(s)1 系统的根 轨迹，就是当开环增益 K 由零变化到无穷大时，由满足相角条件和幅值条件 的 s 值在复数平面上所构成的一组轨迹。 图-1 控制系统 根轨迹的精确化 在有些情况下 ，有必要对按基本规则画出的根轨迹的粗 略形状，特别是位于虚轴附近的部分，进行修正，使之精确化。实现精确化 的一条比较简便的途径，是采用一种由埃文斯设计的所谓对数螺旋尺的专用 工具。 根轨迹的计算机辅助制图 70 年代以来，随着电子计算机的普及，利用 计算机对根轨迹的辅助制图的算法和程序都已建立，这大大减轻了系统分析 和设计人员的繁重工作。 根轨迹的应用 根轨迹的应用主要有三个方面。 1、用于分析开环增益 (或其他参数 )值变化对系统行为的影响：在控制 系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程行 为具有主要影响，称为主导极点对。在根轨迹上，很容易看出开环增益不同 取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响。 2、 用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要 在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点。通 过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响。 3、 用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性 能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计。 3 2、林士谔、林士谔赵访熊法（劈因子法）赵访熊法（劈因子法） 由于解二次方程是容易的，因此在求实系数代数方程 f(x)=xn+a1xn1+ +an1x+an=0 的复根时，如果找出 f(x)的一个二次因子，就等于找到方程的一对复根. 设 f(x)的一个近似二次因子（任意选取）为 (x)=x2+px+q 可用下述方法使它精确化： （1）用(x)去除 f(x)，得到商式 Q(x)和余式 R(x)，即 f(x)= (x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(xn2+b1xn3+ +bn3x+bn2)+(r1 x +r2) 式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出： bk=ak-pbk-1-qbk-2, k=1,2, ,n b-1=0, b0=1 r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3 r2=bn+pbn-1=an-qbn-2 （2）用(x)去除 xQ(x)得到余式 R1(x)=R11xR21 式中 R11,R21，由下面的递推公式算出： ck=bn-pck-1-qck-2, k=1,2, ,n-3 c-1=0, c0=1 R11=bn-2-pcn-3-qcn-4 R21=-qcn-3 （3）用(x)去除 Q(x)得到余式 R2(x)=R12xR22 式中 R12,R22，由下面的公式算出： R12=bn-3-pcn-4-qcn-5 R21=bn-2-qcn-4 （4）解二元一次线性方程组 4 得到 u,. （5）修正后的二次式为 1(x)=x2+(p+u)x+(q+) 如果它还不够精确，再重复（1）至（5）的步骤进行修正，直到足够精确为止. 林士谔赵访熊法求实系数代数方程的复根，其优点是避免了复数运算， 缺点是程序比较复杂. 3、根轨迹的在系统性能分析、根轨迹的在系统性能分析 控制系统的稳定性、动态特性都与特征方程的根（即闭环极点）在 s 平面 上的分布有密切关系。时域分析中，依靠求解输入输出微分方程或状态方 程，只能确定控制系统闭环极点的具体分布。若要研究参数变化对控制系统性 能的影响，特别是某些参数连续变化对系统性能的影响，依靠求解特征方程的 方法来确定闭环极点的位置随参数变化的情况，计算量很大，有时甚至是不可 能的。现在，我们则可以通过一种简便的图解方法，很方便地给出特征方程的 根随参数变化在 s 平面上分布位置变化的情况。我们先看下面的例子。 例 1：设单位反馈系统的开环传递函数为： )2( ) 1( )(H)( ss sK ssG 当开环放大系数 K 从零到无穷大变化时，系统的特征根在 s 平面上分布情 况： 系统有两个开环极点 ， 0 1 s2 2 s 系统的闭环传递函数为 kks kkssHsG )2(G(s)H(s)1 )()( X(s) Y(s) s)(G 2 0 系统的特征方程为 5 0)2( 2 ksks 特征方程的根 415 . 0 415 . 0 2 2 2 1 kks kks 可见特征根在 s 平面的位置与 K 有关。 K0 时，和都成为共轭复数。 415 . 0 2 2, 1 kks 具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随 K 的增加其绝对值也增加。 图-2 给出了系统的特征根在 K 从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。 这种放大系数 K 从零到无穷大变化时，特征方程的根在 s 平面上相应变化 的轨迹，称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图 1 的根轨迹图，我们可以知道，不论 K 怎样变化，系统始终是稳定的。因为全 部根轨迹都分布在 s 平面左半边。图2 和图3 分别为描点图像和实际图像。 图2 例 1 描点图 6 图3 例 1 实际图 自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定；其动态性能与系统的 闭环极点和零点在 S 平面上的分布有关。 因此确定控制系统闭环极点和零点在 S 平面上的分布，特别是从已知的开环零极点的分布确定闭环零极点的分布， 是对控制系统进行分析必须首先解决的问题。根轨迹法是解决上述问题的另一 途径，它是在已知系统的开环传递函数零极点分布的基础上，研究某一个和某 些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、 完整地反映系统特征方程的根在 S 平面上分布的大致情况，通过一些简单的作 图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析 研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。 例 2：已知单位反馈系统的开环传递函数为 )3)(2)(1( )(H)( ssss k ssG 根据系统的根轨迹分析系统的稳定性，并进行结果分析。 根轨迹与虚轴相交时， K=10。所以，当开环放大系数 K 的范围为 7 0Kr=1) case 0 break; case 1 plot(real(z(j),imag(z(j)%绘制根轨迹 hold on zl(j)=z(j); continue; end end end axis(-2 1 -100 100) title(根轨迹) xlabel(sigma) ylabel(jw) jd=pyz(0+fm); plot(real(jd),imag(jd),r*) text(-0.5,0,leftarrow k=1/4) figure(2) rlocus(p,q) 调用函数 劈因子： function x=pyz(a) %输入 w=1,1,1; %任取一个二次因子 while length(a)3 %判断存在二次因子 n=length(a); u=1;b=0;Q=0; %设定初值 while (u=0.1)|(u=6 for i=3:n-3 c(i)=b(n)-p*c(i-1)-q*c(i-2); end end if n=4 r=b(n-2),b(n-3);0,b(n-2); r(2,1)=-q*c(n-3); r(1,1)=b(n-2)-p*c(n-3); end if n=5 r(1,1)=b(n-2)-p*c(n-3)-q*c(n-4); r(2,2)=b(n-2)-q*c(n-4); r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4); end if n=6 r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4)-q*c(n-5); end u=(r1-r2*r(1,2)/r(2,2)/(r(1,1)-r(2,1)*r(1,2)/r(2,2); %求偏差 v=(r1-r(1,1)*u)/r(1,2); w=1,p+u,q+v; %矫正后的二次因子 end a=Q; x(n)=(-w(2)-sqrt(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)/(2*w(1); %求二次因子的根 x(n-1)=(-w(2)+sqrt(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)/(2*w(1); end if length(a)=3 x(2)=(-a(2)-sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)/(2*a(1); %求前两个根 x(1)=(-a(2)+sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)/(2*a(1); elseif length(a)=2 x(1)=-a(2); end end 14 多项式的乘： function c=cheng(a,b); a=quzero(a);b=quzero(b); c=zeros(1,length(a)+length(b)-1); for i=1:length(a) for j=1:length(b) c(i+j-1)=c(i+j-1)+a(i)*b(j); end end 对多项式补零： function b=buzero(a,n) m=length(a); for i=1:n if i=n-m b(i)=0; else b(i)=a(m-n+i); end end 去掉多项式前置零： function b=quzero(a) n=length(a); for i=1:n s