2019届山东省威海市高三上学期期末考试（一模）文科数学试题

页 1 第 2018-2019 学年高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本题共 12 个小题） 1若集合Ax|x23x+20，Bx|x1|2，则AB（ ） A（1，1） B（2，3） C（1，3） D（1，1）U（2，3） 2若复数z满足z（1+2i）4+3i，则 （ ） A2+i B2i C1+2i D12i 3命题“x0，x2x0”的否定是（ ） Ax0，x2x0 Bx0，x2x0 Cx0，x2x0 Dx0，x2x0 4已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT| 2|PF|，则PTF（ ） A30 B45 C60 D75 5如图所示函数图象经过何种变换可以得到ysin2x的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 6已知变量x，y满足不等式组，则 2xy的最小值为（ ） A4 B2 C0 D4 7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 页 2 第 A48+12 B60+12 C72+12 D84 8已知 cos（），（，），则 sincos（ ） A B C D 9某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3， 4.5），（4，5.5），（5，6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为 1.6x+ ，若计划维修费用超 过 15 万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A8 年 B9 年 C10 年 D11 年 10公比为 2 的等比数列an中存在两项am，an，满足aman32a12，则的最小值为（ ） A B C D 11函数f（x）2x3ax2+1 在（0，+）内有且只有一个零点，则a的值为（ ） A3 B3 C2 D2 12设F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2b2的切线与 双曲线的左支交于点P，若|PF2|2|PF1|，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13记Sn为等比数列an的前n项和，已知a52，S3a2+3a1，则a1 14 已知半径为R的圆周上有一定点A， 在圆周上等可能地任取一点与点A连接， 则所得弦长介于R与R 之间的概率为 15如图所示梯子结构的点数依次构成数列an，则a100 页 3 第 16 在ABC中， BAC60，AD为BAC的角平分线， 且+， 若AB2， 则BC 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）4 （）求 cosC； （）若b7，D是BC边上的点，且ACD的面积为 6，求 sinADB 18改革开放 40 年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要 不断加强为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安 全意识调查随机抽取男女驾驶员各 50 人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示规 定得分在 80 分以上为交通安全意识强 （）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率； （）已知交通安全意识强的样本中男女比例为 4：1，完成下列 22 列联表，并判断有多大把握认为 交通安全意识与性别有关； （）用分层抽样的方式从得分在 50 分以下的样本中抽取 6 人，再从 6 人中随机选取 2 人，对未来一 年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有 1 人得分低于 40 分的概率 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 附：，其中na+b+c+d P（K2k） 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 页 4 第 19在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB， 点G为CD中点，平面EAD平面ABCD （）证明：BDEG； （）若三棱锥VEFBC，求菱形ABCD的边长 20已知抛物线y24x的准线过椭圆C：（ab0）的左焦点F，且点F到直线l：x（c 为椭圆焦距的一半）的距离为 4 （）求椭圆C的标准方程； （）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q若 |PQ|2|AB|，求直线AB的方程 21设函数f（x）exax1（aR） （）讨论函数f（x）的单调性； （）若关于x的方程ln（ax+a+1）x1 有唯一的实数解，求a的取值范围 四、解答题（共 2 小题，满分 10 分） 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为10cos 页 5 第 （）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|； （）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y10|的取值范围 23已知函数f（x）|2xa|+|x1|（aR） （）当a1 时，求不等式f（x）1 的解集； （）若存在xR 满足不等式f（x）4，求实数a的取值范围 页 6 第 参考答案 1选：D 2 选：B 3 选：B 4 选：C 5 选：D 6 选：B 7 选：B 8 选：C 9 选：C 10 选：D 页 7 第 11 选：A 12 选：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 答案为： 14 答案为： 15 答案为：5252 16 答案为：2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）4 （）求 cosC； （）若b7，D是BC边上的点，且ACD的面积为 6，求 sinADB 【分析】（I）由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求 cosC， （II）结合三角形的面积可求CD，然后由余弦定理可求AD，再由正弦定理及诱导公式求解 解：（I）sin（A+B）4， 4， 页 8 第 即+2cosC2， 7cos2C8cosC+10， C（0，）， cosC1（舍）或 cosC， （II）b7，ACD的面积为 6，舍CDm， 结合（1）可得 sinC， 6， mCD3， 由余弦定理可得，AD2952， AD2， 由正弦定理可得， sinADBsinADC 18改革开放 40 年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要 不断加强为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安 全意识调查随机抽取男女驾驶员各 50 人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示规 定得分在 80 分以上为交通安全意识强 （）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率； （）已知交通安全意识强的样本中男女比例为 4：1，完成下列 22 列联表，并判断有多大把握认为 交通安全意识与性别有关； （）用分层抽样的方式从得分在 50 分以下的样本中抽取 6 人，再从 6 人中随机选取 2 人，对未来一 年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有 1 人得分低于 40 分的概率 安全意识强 安全意识不强 合计 页 9 第 男性 女性 合计 附：，其中na+b+c+d P（K2k） 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 【分析】（）根据频率和为 1 列方程求得a的值，计算得分在 80 分以上的频率即可； （）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论； （）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值 解：（）根据频率和为 1，得（0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004）101， 解得a0.016； 计算得分在 80 分以上的频率为（0.016+0.004）100.20， 所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为 0.20； （）根据题意知，安全意识强的人数有 1000.220， 其中男性为 2016（人），女性为 4 人， 填写列联表如下； 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 16 34 50 页 10 第 女性 4 46 50 合计 20 80 100 计算K297.879， 所以有超过 99.5%的把握认为“交通安全意识与性别有关”； （）用分层抽样法从得分在 50 分以下的样本中抽取 6 人，其中30，40）内有 2 人，记为A、B， 40，50）内有 4 人，分别记为c、d、e、f； 从这 6 人中随机选取 2 人，基本事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共 15 种不同取法； 则至少有 1 人得分低于 40 分的基本事件为 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共 9 种不同取法； 故所求的概率为P 19在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB， 点G为CD中点，平面EAD平面ABCD （）证明：BDEG； （）若三棱锥VEFBC，求菱形ABCD的边长 【分析】 （） 取AD中点O， 连结EO、GO、AC， 推导出OGBD，EOAD， 从而EO平面ABCD， 进而EOBD，BD平面EOG，由此能证明BDEG （）设菱形ABCD的边长为a，则ABAEED2EFa，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴， OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD的边长 解：（）证明：取AD中点O，连结EO、GO、AC， 页 11 第 底面ABCD为菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB， 点G为CD中点，平面EAD平面ABCD OGBD，EOAD，EO平面ABCD， BD 平面ABCD，EOBD， OEOGO，BD平面EOG， EG 平面EOG，BDEG （）解：设菱形ABCD的边长为a，则ABAEED2EFa， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系， 则E（0，0，），F（，），B（0，0），C（2a，0）， （，0），（0，），（2a，）， 设平面EFB的法向量 （x，y，z）， 则，取x，得 （）， C到平面EFB的距离d， cos， sin， SBEF 三棱锥VEFBC， VEFBCa， 解得a 页 12 第 菱形ABCD的边长为 20已知抛物线y24x的准线过椭圆C：（ab0）的左焦点F，且点F到直线l：x（c 为椭圆焦距的一半）的距离为 4 （）求椭圆C的标准方程； （）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q若 |PQ|2|AB|，求直线AB的方程 【分析】（）由题意知椭圆的c，点F到直线l：x（c为椭圆焦距的一半）的距离为 4 知，a， c 的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程； （）神州行AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB及中点坐标，再由 椭圆求出Q的坐标，进而求出PQ的长，再由题意求出参数m的值，即求出直线AB的方程 解：（）由题意得c1，+c4，b2a2c2，解得：a23，b22， 所以椭圆C的标准方程：+1； （）由（）得F（1，0），x3，显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x my1，A（x，y），B（x，y）， 联立与椭圆的方程：（3+2m2）y24my40，y+y，yy，x+xm（y+y） 2， 所以中点P的坐标（，），所以AB的中垂线方程：ym（x+） 页 13 第 即：ymx， 与直线x3 联立得：所以Q的坐标（3，），|PQ|2（3+）2+（）2 36， |AB|2（）2|yy|2（1+m2）（）2+48（）2 由题意|PQ|2|AB|，36448（）2，整理得：3m44m240，解 得：m22，所以m， 所以直线AB方程：xy1 21设函数f（x）exax1（aR） （）讨论函数f（x）的单调性； （）若关于x的方程ln（ax+a+1）x1 有唯一的实数解，求a的取值范围 【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， （2）结合（1）的讨论及零点判定定理即可求解 解：（I）f（x）exax1， f（x）exa， 当a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 上单调递增， a0 时，若x（lna，+），f（x）0，f（x）单调递增，若x（，lna），f（x）0，f （x）单调递减， 综上可得，当a0 时，f（x）在 R 上单调递增；a0 时，f（x）在（lna，+）上单调递增，（， lna）上单调递减， （）若关于x的方程ln（ax+a+1）x1 有唯一的实数解， 即ex+1axa+1a（x+1）+1 有唯一的实数根， 页 14 第 令tx+1，则etat+1 即etat10 有唯一的实数根， 结合（1）的讨论可知， 当a0 时，f（t）0 恒成立，f（t）在 R 上单调递增，f（0）0，结合零点判定定理可知，只有 一个零点 0， a0 时，若，t（lna，+），f（x）0，f（t）单调递增，若t（，lna），f（t）0， f（t）单调递减， 若只有 1 个零点，则f（lna）aalna10， 令g（x）xxlnx1，则g（x）lnx， 则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， x1 时，g（x）取得最大值g（1）0， a1 综上可得，a的范围为a|a0 或a1 四、解答题（共 2 小题，满分 10 分） 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为10cos （）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|； （）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y10|的取值范围 【分析】（）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用勾股定理的应用求出弦长