逻辑学 第五讲：复合命题与命题公式.ppt

第五讲复合命题与命题公式,本章开始进入现代逻辑的讨论。本章要明确什么是复合命题，复合命题的几种基本形式以及各自的逻辑性质及其有关的简单推理公式，在此基础上理解命题公式的初始符号以及形成规则，掌握什么是重言式、矛盾式、协调式。,目标：,第一节：复合命题概述第二节：复合命题的几种基本形式及其推理第三节：命题公式第四节：复合命题的相互转换及其推理第五节：归谬赋值法及真值表的作用,第一节：复合命题概述,一，复合命题的定义及逻辑结构定义：所谓复合命题就是由命题构成的命题。如果天在下雨，那么地是湿的。（1）如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。（2）或者李司是犯罪嫌疑人，或者李司有犯罪动机。（3）王武的计算机配置合理并且价格低廉。（4）王武的计算机配置合理当且仅当它的价格低廉。支命题必须通过联结词的组合作用才能构成复合命题。,如果天在下雨，那么得是湿的。（pq）天在下雨并且地是湿的。（pq）天在下雨或者地是湿的。（pq）天在下雨当且仅当地是湿的。（pq）支命题相同，但由于联结词不同，它们有完全不同形式。如果天在下雨，那么地是湿的。如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。如果王武的计算机配置合理，那么它的价格低廉。支命题不相同，但由于有相同的联结词，所以它们有相同的逻辑形式（pq）。复合命题的两个基本构成要素：支命题和联结词,二，复合命题的逻辑特征,复合命题的真假是由支命题的真假决定的。支命题之间的逻辑关联就表现为一种支命题的真假对整个复合命题真假的制约关系。一种复合命题的支命题之间具有怎样的逻辑关联是由复合命题的联结词决定。我们把一种形式的复合命题其支命题的真假对复合命题真假的制约情况列出来，就得到一张表，把它叫做该种形式复合命题的真值表。,如果复合命题始终为真，这样的公式叫做重言式，也称为永真式。pp（读作：p析取非p）如果复合命题始终为假，这样的公式叫做矛盾式，也称为永假式。pp（读作：p并且非p）如果复合命题真、假均有，这样的公式叫做协调式。pq（读作：p析取q）如果组成复合命题的支命题真假值相同，或者复合命题之间真假值相同，则叫重言等值式。pp（读作：p等值p）pqpq（读作：“p析取q”等值“非p蕴涵q”）命题逻辑中有五个最基本的逻辑联结词：（合取）、（析取）、（蕴涵）、（等值）、（并非）,第二节：复合命题的几种基本形式及其推理,联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理负命题及其推理等值命题及其推理,一，联言命题及其推理,联言命题：其联结词为联言联结词的复合命题。我们通常用“并且（）”作为支命题与支命题之间的联结词。“并且”也叫做“合取”，因此联言命题也称之为合取命题。在自然语言表达中，联言联结词有多种表达形式：“又又”“不但而且”“既又”“并且”、“和”、“与”“、”“，”“；”,菊花可以观赏，并且菊花可以入药。王芳芳既聪明，又好学。李桐不但学习优秀，而且品行优秀。联言命题的逻辑形式：“pq”（读作：p并且q）,联言命题的逻辑特征：一个联言命题是真的，当且仅当它的每一个支命题都是真的。联言命题的逻辑性质：所有的支命题为真，联言命题为真；反之，联言命题真，其支命题都是真的。根据的逻辑性质，可以有如下的推导规则：,1，合取引入规则（+）：pqpqp，qpq,2，合取消去规则（-）：pqppqp,创造型人才有开阔的思路，有创新的能力；所以，创造型人才有开阔的思路，也有创新的能力。（合取引入规则）贡献是才能的函数，才能是贡献的一个变量；所以，才能是贡献的一个变量。（合取消去规则）,二，选言命题及其推理,选言命题：其联结词为选言联结词的复合命题。在自然语言中，选言联结词有多种表达形式：“或者”“要么”胜者或因其强，或因其指挥无误。事物矛盾表现的形态不外两类，要么是对抗性的，要么是非对抗性的。,1，相容选言命题及其推理,相容选言命题是其支命题可以同时为真的选言命题。我们用“”表示相容选言的联结词：相容选言命题的逻辑形式：“pq”（读作：“p或者q”）相容联结词表达的涵义是：各支命题描述的现象情况至少有一种存在。因此，一个相容选言命题是真的，当且仅当它的支命题至少有一个真。,根据的表达的涵义，可以有以下推导规则：,（1）析取消去规则（-）：pqpq（否定肯定式）,（2）析取引入规则（+）：Ppq（附加律）,这些作品，或者在思想性方面有缺点，或者在艺术性方面有缺点；它们不是在思想性方面有缺点，所以，它们是在艺术性方面有缺点。,2，不相容选言命题及其推理,不相容选言命题是指其支命题不可能同真的选言命题。把一个硬币抛下去，当它落地时要么正面朝上要么反面朝上。人的思想，要么是唯物主义的，要么是唯心主义的。不相容选言命题的逻辑涵义是：各支命题描述的现象情况有且只有一种存在。因此，一个相容选言命题是真的，当且仅当它的支命题只有一个真。,补充,补充一个具体的选言命题究竟是相容的还是不相容的，我们只能从其命题的内容上区分。“pq”=df（pq）（pq）（=df读作：定义为），或者说是：“pq”（pq）（pq）,根据的逻辑涵义，有以下推导规则：,pqP（q）q（p）,pqP（q）q（p）,三，假言命题及其推理,假言命题是由“如果那么”、“只有才”、“当且仅当”等联结词联结支命题而构成的复合命题。如果天在下雨，那么地是湿的。只有认真改革教学，才会提高教学质量。根据联结词的不同，假言命题可以分为充分条件的，必要条件的和充分必要条件的三种，相应地有三种假言推理。,前件,后件,（一）充分条件假言命题及其推理,充分条件假言命题就是用“如果那么”等联结词联结前、后件形成的假言命题。充分条件联结词的汉语表达形式有：“如果那么”、“若则”、“一旦就”等等。如果天在下雨，那么地是湿的。一旦张珊年满18岁，她就有选举权。这样没法完成教学任务，如果只抓教学不抓教，就否定了教师的主导作用。不入虎穴，焉得虎子。,充分条件命题的逻辑形式是：pq（读作：蕴涵）描述了事件p与事件q之间有充分条件联系，如果有p必有q，而无p有无q不确定。如果天在下雨，那么地是湿的。所以，充分条件命题的逻辑涵义是：前件真后件必真，前件假则后件可以真也可以假。如果水分充足，那么水稻长得好。,充分条件命题的逻辑特征用真值表表示如下：充分条件假言命题的逻辑性质：一个充分条件命题是假的，当且仅当，它的前件真而后件假。,“”有如下规则：,（1）蕴涵消去规则（MP）（分离规则或肯定前件规则）：pqpq（pq）pq,如果他在学习中不刻苦钻研，就不能取得好成绩；自以为聪明的人不刻苦钻研；所以，这样的人不能取得好成绩。,（2）蕴涵否后规则（MT）：pqqp（pq）qp,如果是高水平的领导，那么就懂得现代管理原理；林星不懂现代管理原理，所以，林星不是高水平的领导。,（二）必要条件假言命题及其推理,必要条件假言命题是以“只有才”联结前、后件而构成的复合命题。表达这种命题的自然语言还有“不不”、“仅当才”、“除非不（才）”等等。只有有犯罪动机，才是犯罪嫌疑人。庄稼长得好，除非肥料充足。必要条件假言命题描述的是两个事件之间的必要条件联系。事件p与事件q之间有必要条件联系，如果没有p就没有q，而有p时有无q不确定。,所以，必要条件假言命题的逻辑涵义是：前件假时后件必假，而前件真则后件可以真可以假。必要条件假言命题的逻辑形式是：pq（读作：逆蕴涵）必要条件假言命题的逻辑性质：一个必要条件命题是假的，当且仅当，它的前件假而后件真。,逆蕴涵与蕴涵我们可以用将“pq”形式的必要条件命题表示为形式为“qp”的充分条件命题：pqqp只有有犯罪动机，才是犯罪嫌疑人。如果是犯罪嫌疑人，那么有犯罪动机。,有如下推理规则：,（1）否定前件规则：pqpq（pq）pq,（2）肯定后件规则：pqqP（pq）qP,一个演绎推理只有遵守了推理规则，它才是有效的；这个推理没有遵守推理规则，所以，这个推理不是有效的。只有搞好了党风，才能转变社会风气；转变了社会党风，所以，党风建设卓有成效。,（三）充分必要条件假言命题及其推理,充分必要条件假言命题是用“当且仅当”作为联结词联结前后件而够成的假言命题。一个三角形是等边的，当且仅当它是等角的。逻辑形式：pq（读作：当且仅当）,充要条件假言命题的逻辑性质：当p与q真值相同时，pq为真。在命题逻辑中与pq有关的两条规则：（1）等值引入规则：pqqppq（2）等值消去规则：pqpq、pqqp,四，负命题及其推理,否定一个命题得到的就是负命题。并非所有金属都是固体。并非所有文学家都是大学毕业的。表达负命题的自然语言联结词还有：“并无之事”、“不是”、“不”等。负命题的联结词是通常是“并非”，我们称其为否定联结词，用符号“”（读作：并非）表示。负命题的逻辑形式是：p。很显然，“”是一个一元联结词。,的真值表如下：负命题的逻辑性质是：它与原命题（支命题）的真、假相反。,pp，相应地可以有如下推导规则：（1）双重否定引入规则（+）：pppp（2）双重否定消去规则（）：pppp,值得指出，运用负命题的性质，我们可以做到两点：第一，弄清楚关于几个基本逻辑联结项的负命题的等值命题，即：（pq）pq（德摩根律1）（pq）pq（德摩根律2）（pq）pq（pq）（pq）（pq）第二，通过运算，判定复合命题之间是否等值。pq与pq，可以运算为：（pq）pq（pq）pq,五，等值命题及其推理,等值命题就是充要条件命题（详见充分必要条件命题）。自然语言中，我们常用“当且仅当”来表示。逻辑联结词的符号我们常用“”（读作：等值）来表示。等值命题的逻辑性质：等值联结词联结的两边的支命题要么同真，要么同假，整个等值命题才是真的，否则为假。,复合命题及其推理小结,一，理解真值表。二，理解各种复合命题的逻辑性质。三，基于逻辑性质的基础上，能进行有关各种复合命题的简单推理。,第三节：命题公式,（一）命题公式命题公式：复合命题的逻辑形式。如果王进是犯罪嫌疑人，那么他有犯罪动机和犯罪时间。如果一个公民是完全行为能力人，那么他年满十八周岁并且具有完全的行为能力。p（qr）从认识的角度分析从逻辑的角度分析形式语言：构造命题公式的符号是人们创造出来的以满足研究与表达的需要的一种特殊的语言符号。,初始符号（形式语言表达的基本符号）：1，命题变元：p，q，r，2，命题联结词：，3，辅助符号：（，）形成规则：1，所有命题变元是命题公式；2，如果是命题公式，那么是命题公式；3，如果、是命题公式，那么（），（），（），（）也是命题公式。4，只有符合以上3条的才是命题公式。,（pq）（rs）p（q（rs）（pq）r）s（pq）r）（pr）（qs）,（二）命题公式间的逻辑等值关系,逻辑等值：两个命题是逻辑等值的，那么它们一定有共同的命题变元，并且无论构成公式的变元取什么值，两个公式要真都真，要假都假。“pq”与“（pq）”是否等值？pq（pq）,如果一个等值式是重言式，那么我们就用符号“”代替等值联结词“”。公式“”表示和逻辑等值，即“”是重言式。pq（pq）几个重要的重言等值式：1，交换律：（pq）（qp）（pq）（qp）,2，结合律（pq）rp（qr）（pq）rp（qr）3，摩根律（pq）（pq）（pq）（pq）4，分配律（p（qr）（pq）（pr）（p（qr）（pq）（pr）,5，实质蕴涵（pq）（pq）,6，假言易位（pq）qp7，移出律（pq）r）（p（qr）8，实质等值（pq）（pq）（qp）9，双否律pp10，重言律p（pp）p（pp）,（三）命题联结词的相互定义,两个具体命题逻辑等值意味着两个命题描述的是同一个事件，因此它们都可以相互交换使用。（pq）（pq）（pq）如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。或者李司不是犯罪嫌疑人，或者李司有犯罪动机。并非李司是犯罪嫌疑人并且李司没有犯罪动机。,第四节：复合命题的相互转换及其推理,pq（pq）pq（pq）pq（pq）pqpqpq=df（pq）（的定义）pq=df（pq）（的定义）pq=df（pq）（qp）（的定义）,在命题公式的转换中，规约律是特殊的运算规律：ppTppFpTppFp,此外，还有复合命题的其他形式的推理：假言易位：pqqp假言三段论：pq，qrpr假言选言推理（亦称二难推理）简单构成式：pq，rq，prq复杂构成式：pq，rs，prqs简单破坏式：pq，pr，qrp复杂破坏式：pq，rs，qspr反证法：pq，pqp归谬法：pq，pqp,第五节：归谬赋值法及真值表的作用,（一）归谬赋值法1，什么是归谬赋值法所谓归谬赋值法也称为简化的真值表法。这是一种检验复合命题推理有效性的方法。一个演绎推理是有效的，当且仅当在任何赋值的情况下，它都不会出现前提真而结论假的情况。对演绎推理有效性的检验可以简化为对蕴涵式是否是重言式的验证。如果它为重言式，则推理是有效的，否则就是无效的。,2，归谬赋值法的思路（pq）pq第一步：F第二步：TF第三步：TT第四步：TF,（二）真值表的作用,在命题逻辑中，真值表具有特殊地位，起着重要的作用。具体说来，真值表主要有以下三个作用。1，定义作用命题逻辑中的许多概念必须通过真值表予以定义，以明确其含义。2，判定作用一是判定复合命题之间是否