江苏淮安涟西中学高三数学导数概念与运算复习人教

江苏省淮安市涟西中学高三数学导数概念与运算复习淮安市涟西南中学高三备课组2006.2.23教学目标:理解导数的有关概念及其几何意义，掌握导数的运算法则.会求函数在某点处切线的斜率.教学重点:导数的概念及其几何意义教学难点:导数的几何意义一、知识梳理: 1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限(即无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即理解:函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率.是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。若极限不存在，则称函数在点处不可导。若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。2.如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即理解:如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值.即.求导函数时,只需将求导数式中的换成就可,即3.利用导数定义求函数的导数的一般步骤是：求函数的改变量。求平均变化率。取极限，得导数。4.两个常用函数的导数：;导数的运算法则：如果函数有导数，那么5. 切线的斜率 一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.二、基础回顾1.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+y），则等于 （ ）A.4 B.4x C.4+2x D.4+2x22.若函数，则 0 , .123.若,则的值为 .1,-14. 已知曲线在处的切线的倾斜角为,则 .三、典例剖析1.求与直线平行且与曲线相切的直线方程.解: 设,又,切点为（1,1）,切线为,.2.设函数，求解:3.（2004年高考重庆卷文科）已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程.解: P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时, ,过点P（2，4）的切线方程为;当切点不是P（2，4）时,设切点为,则,又(), ,即,又,即,又切点为,过点P（2，4）的切线方程为.综合得过点P（2，4）的切线方程为或.4.若直线是曲线的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），则 ,又,3x02=3.x0=1.切点既在切线上又在曲线上, ,.（1）当时，, a=3（2）当时，,a=1综上可知，实数a的值为3或1.四、巩固练习1.(2003年天津高考)设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为 , 则P到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）A B C D 2.（2004年全国3）曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为（ ）A.y=3x4 B.y=3x+2 C.y=4x+3 D.y=4x53.（2004年重庆15）已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_.4.（2004年湖南13）过点P（1，2）且与曲线y=3x24x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_.五、夯实基础1.函数f（x）=（x+1）（x2x+1）的导数是（ ）A.x2x+1B.（x+1）（2x1）C.3x2D.3x2+12.已知点P在曲线上移动，设点P处的切线倾斜角为，则的取值范围（ ）A. B. C. D.3.若曲线在点P处的切线平行于直线,则点P的坐标为（ ）A、（1,3） B、（-1,3） C、（1,0） D、（-1,0）4.已知是曲线的一条过原点的切线,则的值为 .1或解:当切点为（0,0）时,又,;当切点为时,又,又切点在切线和曲线上,即,消去a得,而此时,代入得.5.函数f（x）=ax3+3x2+2，若（1）=4，则a的值等于_.6.曲线y=2x2+1在P（1，3）处的切线方程是_.7.已知曲线y=x21与y=3x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.解:,又,.8.点P在曲线y=x3x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.解：tan=3x21，tan1，+）.当tan0，+）时，0，）；当tan1，0时，.0，9.曲线y=x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在点C，使过点C的切线与AB所在直线平行?若存在,求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）kAB=2，y=2（x4）.所求割线AB所在直线方程为2x+y8=0.（2）=2x+4，2x+4=2，得x=3，y=32+34=3.C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y9=0.10.确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：由题意知,切点为（2,4）,又,4+b=2，b=2,又切点为（2,4）在抛物线上,，即c=4.11.曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：曲线上任意一点处的斜率为=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，x=1时，切线最小斜率为3，此时，y=（1）3+3（1）2+6（1）10=14.切线方程为y+14=3（x+1），即3xy11=0.12.曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相切，求点P的坐标.解：(方法一)设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1x02，而此直线与曲线y=2