1.4二次函数与一元二次方程的联系

二次函数与一元二次方程的联系,1.4,观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如下图），分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况.,一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.,从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？,求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.,例1求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).,举例,分析一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.,因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.,这种解一元二次方程的方法叫作图象法.,作出函数y=x2-2x-1的图象，如下图所示：,可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间.,y=x2-2x-1,通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1-0.4或x22.4.,y=x2-2x-1,我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：,可以发现，当x=-0.5时，y=0.250；而当x=-0.4时，y=-0.040.,结合图象可以看出，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5x-0.4.,同理，借助计算器，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为x=2.4.,题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时，y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4.,例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.,举例,（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？,解由抛物线的表达式得,即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.,你能结合图示指出为什么在不同的水平距离，铅球的高度均为2.1m？,（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？,解由抛物线的表达式得,即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.,（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,解由抛物线的表达式得,因为=（-6）2-4114=-200，所以方程无实数根.,所以铅球离地面的高度不能达到3m.,从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了.,1.试判断下列抛物线与x轴的交点情况：,（1）y=x2-x-2；,（2）y=9x2+12x+4；,答案：两个交点.,（3）y=x2-2x+3.,答案：一个交点.,答案：没有交点.,2.用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的根的近似值（精确到0.1）.,答：x1-1.6，x20.6.,3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月份）之间的关系.试根据图象提供的信息，回答下列问题：,（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？,答：该公司亏损期是4个月；4月末开始赢利.,（2）求截止