高数上总复习.ppt

1,复习,五大部分内容：一、函数与极限二、导数与微分三、微分中值定理与导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用,2,注1：试卷内容覆盖教材中第一章至第六章，主要测试学生对一元函数的微积分、微分方程的基本思想、基本理论及计算技巧的掌握情况。注2：课本中带有星号的内容不考；另外不考的内容有：第二章第四节中的相关变化率、第二章第五节中的微分在近似计算中的应用；第三章第七节曲率以及第八节方程的近似解；第六章第三节定积分在物理学上的应用。,3,一、函数与极限,基本要求1、掌握极限四则运算法则，掌握用两个重要极限公式求极限的方法，了解无穷小量及其性质，会进行无穷小量阶的比较和等价无穷小替换。2、理解函数在一点连续与间断的概念。掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解和掌握闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理、介值定理）及其应用。,4,i）函数极限存在的充要条件。注：在讨论某一函数在点x0处的极限，而该函数在点x0处左右两边的表达式不同时，一般都要用这个结论。ii）极限的性质函数极限的唯一性、函数极限的局部有界性、函数极限的局部保号性、函数极限与数列极限的关系iii）极限存在的准则1）夹值同限原理（夹逼准则）2）单调有界原理,1、函数极限,5,定义.,若,则称是比高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称是比低阶的无穷小;,则称是的同阶无穷小;,则称是关于的k阶无穷小;,则称是的等价无穷小,记作,2、无穷小及无穷小的比较,6,3、函数的连续性与间断点,f(x)在点x0连续,间断点:设f(x)在点x0的某个去心领域内有定义，若函数f(x)有下列情形之一：（1）在x=x0没有定义；（2）虽在x=x0有定义，但不存在；（3）虽在x=x0有定义，且存在，但则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。,7,4、闭区间上连续函数的性质1）（有界性与最大值、最小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值与最小值。2）（零点定理）设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a).f(b)1）的积分常做根幂代换，化为t的有理函数的积分求之。,2）被积函数为分式函数，其分母为两个不同次幂的根式的代数和：，常做根幂代换（其中P为正整数m、n的最小公倍数），化为t的有理函数的积分求之。,52,3）被积函数含（n为正整数，n1）的积分常做根幂代换，化为t的有理函数的积分求之。,4）被积函数为分式函数，其分母（或分子，或其分子、分母分别）为两个同次幂的根式之代数和，先将分母（或分子）有理化，化成只含一个根式的两个积分，如需要再用根幂代换求之。,53,54,例1已知,，求,例2已知,的一个原函数为,，求,例3求下列不定积分,55,不定积分的概念与性质P1922(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);5换元积分法P2072(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44)分部积分法P2124,5,9,14,18,20,21,22,23，24有理函数的积分P2183,6,8,9,13,15,17,18,20,22,23，24习题课P2222,3,4(6),(9),(18),(19),(20),(22),(26),(28),(31),(38),(39),56,五定积分及其在几何上的应用,基本要求：1、理解定积分的概念与几何意义，了解函数的可积性与连续性、或者可积性与有界之间的关系，了解定积分的性质；2、掌握积分上限函数及求导方法，掌握牛顿莱布尼兹公式，掌握用定积分的换元法和分部积分法计算定积分；3、掌握反常积分的计算方法；4、掌握用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积以及曲线弧长。,57,1、与定积分概念有关的问题的解法,1)用定积分概念与性质求极限,2)用定积分性质估值,3)与变限积分有关的问题,2、有关定积分计算和证明的方法,1)熟练掌握定积分计算的常用公式和方法,2)注意特殊形式定积分的计算,3)利用各种积分技巧计算定积分,4)有关定积分命题的证明方法,58,例1求极限,例2设,求,。,例31）,反常积分,例4求,2）,4,59,例5计算下面定积分。,例6,60,例7,61,第五章定积分的概念与性质P2367;10(3),(4);12微积分基本公式P2443;4;5(3);8(8),(11),(12);11；12;13;14;15；16定积分的换元法和分部积分法P2541(4),(10),(16),(24);3;7(4),(9),(10)反常积分P2621(4),(5),(6);2;4习题课P2701,2,5,7,8,9(1);10;11(2),(5),(9);13,14,15,第六章第二节定积分在几何学上的应用P2862(1