一线名师指点高考数学同步辅导第36讲绝对值不等式

一线名师指点07年高考数学同步辅导第36讲绝对值不等式【考点回放】1解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题|a|b|a+b|a|+|b|;|a|b|ab|a|+|b|;并指出等号条件3(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)b的两边同时乘以 ，立得 成立7(2006上海卷)如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）解析:如果，那么， ，选A. 【考点演练】1、不等式|x+2|x|的解集是 . x| x-1变式1、条件p:|x2|2x；条件q:xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 . 2、不等式|3x2|4的解集是C（ ）Ax|x2Bx|xCx|x2Dx|x23、已知函数f(x)是R上的减函数，A（0，3），B（2，3）是其图象上的两点，那么不等式|f(x2)|3的解集是 . 14 4.（2003年北京海淀区一模题）已知集合A=x|a1xa+2，B=x|3x5，则能使AB成立的实数a的取值范围是A.a|3a4B.a|3a4C.a|3a4D.解析：由题意知得3a4.答案：B5.不等式|x2+2x|3的解集为_.解析：3x2+2x3，即3x1.答案：3x16.（2004年全国，13）不等式|x+2|x|的解集是_.解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1.解法二： 在同一直角坐标系下作出f（x）=|x+2|与g（x）=|x|的图象，根据图象可得x1.解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|x|表示数轴上x到2的距离不小于到0的距离，x1.答案：x|x1评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.7.（2004年春季北京）当0a1时，解关于x的不等式aax2.解：由0a1，原不等式可化为x2.这个不等式的解集是下面不等式组及的解集的并集.或解不等式组得解集为x|x2，解不等式组得解集为x|2x5，所以原不等式的解集为x|x5.【题型讲解】例1 解不等式分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立解：原不等式又化为原不等式的解集为点评：可利用去掉绝对值符号 例2 求证：不等式综上（1），（2）得例3 所以，原命题得证例4 例5 证明：例6 证明：令例7 a, b R 证明|a + b|ab| 3解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：|x+3|x3|3(1)x3;(2)3/2x3或3x3 原不等式的解为x3/2解法二：用平方法脱去绝对值：两边平方：(|x+3|x3|)29,即2x2+92|x29|;两边再平方分解因式得：x29/4x3/2例9 解不等式|x23|x|3|1解：|x23|x|3|11x23|x|31 原不等式的解是：x4或4x点评：本题由于运用了xR时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论例10 求使不等式|x4|+|x3|a有解的a的取值范围解：设f(x)= |x4|+|x3|,要使f(x)1 点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论例11已知二次函数f(x)满足|f(1)|1,|f(0)|1,|f(1)|1,求证：|x|1时，有|f(x)|5/4证明：设f(x)=ax2+bx+c,由题意，得 a=f(1)+f(1)2f(0),b=f(1)f(1); c=f(0)代入f(x)的表达式变形得：f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(1)(x2x)/2+(1x2)f(0) |f(1)|1,|f(0)|1,f(1)|1, 当|x|1时，|f(x)|(x2+x)/2|f(1)|+|(x2x)/2|f(1)|+(1x2)|f(0)|x|(1+x)/2+|x|(1x)/2+(1x2)=x2+|x|+1=(|x|1/2)2+5/45/4例12 已知a,b,c都是实数，且|a|1,|b|1,|c|1证明：设f(x)=x(b+c)+bc(1), |a|1,|b|1,|c|0,f(1) (b+c)+bc+1(1b) (1c)0, 当a(1,1)时，f(x)0恒成立 f(a) a(b+c)+bc(1)0, ab+bc+ca1例13 证明：小结：1理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题2解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：（1）分类讨论；（2）平方；（3）利用绝对值不等式的性质，如等3证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等【基础演练】1不等式的解集为（ ）A B C D答案：D2不等式|x4|x3|7 Ba1 Ca1时，不等式有解3若A=x| |x1|0，则AB=（ ）Ax|1x3 Bx|x2 Cx|1x0或2x3 Dx|1x0答案: C提示: A=x| 1x2或x0,AB=x|1x0或2x1 B|a| C1|a|或a答案: C 提示: 0a21,1|a|6解不等式|logx|log(3x)|1答案：x| 0x或x3提示： 分0x1, 1x2, 2x3三种情况讨论,当0x1时,解得0x；当1x2时,无解；当2x3时,解得x3【实战演练】1.关于x的方程3x26（m1）x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，=36（m1）212（m2+1）0.m或m.又x1x2=0，x1、x2同号.|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m1|.于是有2|m1|=2，m=0或2.m=0.2.解不等式.解：（1）当x220且x0，即当x且x0时，原不等式显然成立（2）当x220时，原不等式与不等式组等价x22x，即x2x20.x2.不等式组的解为x2，即x2或x2原不等式的解集为（，2（，0）（0，）2，）3.（2003年湖北黄冈模拟题）已知函数f（x）=的定义域恰为不等式log2（x+3）+logx3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.解：由log2（x+3）+logx3得x，即f（x）的定义域为，+）.f（x）在定义域，+）内单调递减，当x2x1时，f（x1）f（x2）0恒成立，即有（ax1+2）（ax2+2）0a（x1x2）（）0（x1x2）（a+）0恒成立.x1x2，（x1x2）（a+）0a+0.x1x2，要使a恒成立，则a的取值范围是a.4.已知f（x）=x2x+c定义在区间0，1上，x1、x20，1，且x1x2，求证：（1）f（0）=f（1）；（2）| f（x2）f（x1）|x1x2|；（3）| f（x1）f（x2）|；（4）| f（x1）f（x2）|.证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，f（0）=f（1）.（2）| f（x2）f（x1）|=|x2x1|x2+x11|.0x11，0x21，0x1+x22（x1x2）.1x1+x211.| f（x2）f（x1）|x2x1|.（3）不妨设x2x1，由（2）知| f（x2）f（x1）|x2x1.而由f（0）=f（1），从而| f（x2）f（x1）|=| f（x2）f（1）+f（0）f（x1）| f（x2）f（1）|+| f（0）f（x1）|1x2|+|x1|1x2+x1.+得2| f（x2）f（x1）|1，即| f（x2）f（x1）|.（4）|f（x2）f（x1）|fmaxfmin=f（0）f（）=.5.（1）已知|a|1，|b|1，求证：|1；（2）求实数的取值范围，使不等式|1对满足|a|1，|b|1的一切实数a、b恒成立；（3）已知|a|1，若|1，求b的取值范围.（1）证明：|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21）（b21）.|a|1，|b|1，a210，b210.|1ab|2|ab|20.|1ab|ab|，=1.（2）解：|1|1ab|2|ab|2=（a221）（b21）0.b21，a2210对于任意满足|a|1的a恒成立.当a=0时，a2210成立；当a0时，要使2对于任意满足|a|1的a恒成立，而1，|1.故11.（3）|1（）21（a+b）2（1+ab）2a2+b21a2b20（a21）（b21）0.|a|1，a21.1b20，即1b1.6. 设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x221，证明不等式（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.（2）当x12+x221时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x221）x2（x1y1+x2y21）x+（y12+y221），其根的判别式=4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）.由题意x12+x221，函数f（x）的图象开口向下.又f（1）=x12+x222x1y12x2y2+y12+y22=（x1y1）2+（x2y2）20，因此抛物线与x轴必有公共点.0.4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）0，即（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.7.设a1，令a2=1+.（1）证明介于a1、a2之间；（2）求a1、a2中哪一个更接近于；（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.（1）证明：（a1）（a2）=（a1） （1）=0.介于a1、a2之间.（2）解：|a2|=|1|=|=|a1|a1|.a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.由（2）知|a3|=|a2|a2|.8. 已知f（x）=|log2（x+1）|，mn，f（m）=f（n）.（1）比较m+n与0的大小；（2）比较f（）与f（）的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）f（m）=f（n），|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.log22（m+1）=log22（n+1）.log2（m+1）+log2（n+1）log2（m+1）log2（n+1）