三垂线定理教案说明

教案说明：三垂线定理及其逆定理（复习课） （教材：全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下A） （上课教师：贵州省实验中学 李仕魁） 一、授课内容的数学本质和教学目标定位1、授课内容的数学本质本节课主要目的是加深学生对三垂线定理及其逆定理的理解和认识，同时通过例题和练习让学生逐步理解两个定理在证明线线垂直和求作二面角方面的运用。三垂线定理及其逆定理是高中立体几何中两个重要的定理。三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理。也就是说，这两个定理主要研究的是直线与直线的垂直关系，进而也是研究直线与平面垂直、平面与平面垂直的重要结论。三垂线定理把平面内的直线与平面的斜线的垂直关系转化为平面内的直线与斜线在平面内的射影的垂直关系，这里把一个空间问题转化成一个平面问题，体现了数学中化归的思想。而三垂线定理的逆定理则是把平面内的直线与斜线在平面内的射影的垂直关系转化为平面内的直线与平面的斜线的垂直关系，此时是把空间的几何条件归结为平面内的几何条件，从而可以利用初中平面几何的知识来求解立体几何问题。因此，三垂线定理及其逆定理较好地展现了立体几何中空间问题与平面问题相互转化的重要思想。2、教学的目标定位在之前，学生已经分别学习了三垂线定理和三垂线定理的逆定理，但是对于两个定理之间联系和区别却没有太多的认识。因此，本节课的主要目的也就是让学生在已有知识的基础上，对三垂线定理及其逆定理进行进一步的学习和研究，从中体会立体几何的一些重要的数学思想。从知识目标上，加深学生对三垂线定理及其逆定理的理解和认识；从能力上，让学生在理解三垂线定理及其逆定理的基础上，能利用两个定理证明直线与直线的垂直问题、求二面角的大小等问题，从而体会三垂线定理及其逆定理的简单运用；从情感上，让学生通过对三垂线定理及其逆定理的再认识，体会立体几何中空间问题与平面问题相互转化的思想。二、教学内容的基础、地位和作用1、三垂线定理及其逆定理是共面两直线的垂直关系于空间两直线的垂直关系之间的相互转化的判定定理，它们的实质是通过线线垂直得到线面垂直又转化为线线垂直。因此，这节课要求学生较好掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，同时对三垂线定理和三垂线定理的逆定理要有一定的了解，就可以在教师的引导下通过师生探讨、学生讨论等方式对三垂线定理及其逆定理的关系及应用作进一步的学习。由于其中还涉及利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角，所以这节课一般放在立体几何一章的复习课上。2、教学内容的地位和作用三垂线定理及其逆定理可以说是直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，同时两个定理也是立体几何中空间问题与平面问题的相互转化的一个典型例子。通过对两个定理进一步的学习，可以加深学生对直线与平面垂直的判定定理和性质定理得理解，从某种意义上说，也可以帮助学生更好地掌握直线与平面的垂直关系，让学生更好地体会立体几何中空间与平面相互转化的数学思想。三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明各种垂直关系的重要结论，同时也是求作二面角的平面角的重要依据。三、教学诊断分析1、学习本内容时学生容易了解的地方由于在之前学生已经分别对三垂线定理和三垂线定理的逆定理进行了一定程度的学习和练习，因此学生对两个定理的内容以及定理在解题中的应用都有了一些了解，而理解这两个定理的内容也是学好本节课的基础。2、学习本内容时学生容易误解的地方在认识三垂线定理和三垂线定理的逆定理的关系时，由于两个定理是彼此独立的，而两个定理刚好是两对线线垂直关系的相互转化，学生往往认为两个定理没有先后顺序可以交换，从而不能很好地理解两个定理中体现的数学思想。另一方面，由于没有很好地理解定理的内容，学生往往不知道什么时候应该使用这两个定理来解题，有的则是使用定理时没有完全具备定理中的条件。四、教法特点以及预期效果分析1、教法特点教学的指导思想是：启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构。整节课采用讲练结合的方式展开教学，以系列问题为纽带引导学生对两个定理的条件和结论进行思考，从而理清两个定理之间的关系。设置的例题由学生讨论完成，充分发挥学生的主体作用。在讲解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理都是讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节，特别是一个空间图形有多个平面时，更加强调解题的一般步骤：首先确定“基准平面”，再确定“主线”，然后找出“垂线”就是关键了。2、预期效果通过本节课的学习，学生能很好地掌握三垂线定理和三垂线定理的内容，能较好地理解两个定理之间的关系，从而理解立体几何中空间问题与平面问题之间转化的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究立体几何问题。采用精讲多练的方法，能使学生见到的题型更多，解题思路更为灵活，使他们比较容易地提高一个层次，从而使以后的学习较为顺利。教学中紧紧把灵活运用三垂线定理及其逆定理作为重点，强调学生对运用定理的思路的理解，并通过一定的例题让学生逐步体会到，由于三垂线定理及其逆定理研究的是平面的直线a与平面的斜线PO、直线a与斜线PO在平面内的射影AO之间的垂直关系，因此我们把直线a称为问题的“主线”，但由于主线a必须出现在平面内，所以我们把平面成为“基准平面”，所以利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本思路是：先定基准平面，再定主线，再找垂线。在例2和例3中都强调了这种思路，因此通过本节课的学习，学生对这种解题的基本思路会有一个更深刻的理解。在二面角大小的计算中，求作二面角的平面角一直是