高考数学总复习52

立体几何单元测试（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定一个平面若M，M，l，则Ml空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A1 B2 C3 D43一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A2 B4C4 D84体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A54 B54C58 D585设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面，b，c.则下列命题不成立的是()A若，c，则c B“若b，则”的逆命题C若a是c在的射影，ba，则cb D“若bc，则c”的逆否命题6正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.7设P是平面外一点，且P到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是()A梯形 B圆外切四边形 C圆内接四边形 D任意四边形8用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac；若a，b，则ab； 若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A B C D9设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C.a2 D5a210正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3，BB14，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥RPQMN的体积是()A6 B10C12 D不确定11已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACm CAB DAC12设，是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：，则；若，m ，m，则m；若m，n在内的射影互相垂直，则mn；若m，n，则mn.其中正确命题的个数为()A0 B1C2 D3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是_14如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的图的序号)15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C.若V1V2V3141，则截面A1EFD1的面积为_16如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AMME最小，其最小值为_选择题答案题号123456789101112答案填空题答案 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分) 已知正三棱锥VABC的侧棱长为4，俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的三视图；(2)求出侧视图的面积18(12分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACCBAA12，D是AB的中点(1)求证：CD平面ABB1A1；(2)求二面角DA1CA的正切值19(12分) 图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，AB2，M，N分别是棱CC1，AB中点(1)求证：CN平面ABB1A1；(2)求证：CN平面AMB1；(3)求三棱锥B1AMN的体积20(12分)如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADABCD1，M为PB的中点(1)试在CD上确定一点N，使得MN平面PAD；(2)点N在满足(1)的条件下，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值21(12分) 如图，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点(1)若，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BPMN；(2)若D1PPD12，且PB平面B1MN，求二面角MB1NB的余弦值；(3)棱DD1上是否总存在这样的点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论 22(14分)圆柱OO1内有一个三棱柱ABCA1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.(1)求证：平面A1ACC1平面B1BCC1；(2)设ABAA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABCA1B1C1内的概率为p.当点C在圆周上运动时，求p的最大值；记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为(090).当p取最大值时，求cos 的值.立体几何单元测试（理科）参考答案一、选择题1B在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件2A两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故不正确；两异面直线不能确定一个平面，故不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面，故不正确；据平面的性质可知正确3C由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S8114.4A设圆台的上、下底面半径分别为r，R，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h，H，则，又R29r2，R3r，H3h.R2Hr2h52.即R2HR2H52，R2H54.5B命题C即为三垂线定理；命题D中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D正确；命题A显然成立；对于命题B，若，则b与的位置关系都有可能6D如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.7BP到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则P在平面内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆8C由平行公理可知正确；不正确，若三条直线在同一平面内，则ac；不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知正确9B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AO22a2a2a2.S球4R24a2a2.10A四棱锥RPQMN的底面积为SSPQMSMNPPQACMNAC(PQMN)AC(13)36.其高h，VRPQMNSh66.11Dm，m，l，ml.ABl，ABm.故A一定正确ACl，ml，ACm.从而B一定正确A，ABl，l，B.AB，l.AB.故C也正确ACl，当点C在平面内时，AC成立，当点C不在平面内时，AC不成立故D不一定成立12B本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；正确，不妨过直线m作一平面与，同时相交，交线分别为a，b，由知ab，又mma，mb，又m，m；错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例二、填空题13解析：由三视图知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥因此，其体积V12.14解析：图为空间四边形DOEF在前面(或后面)上的投影图为空间四边形DOEF在左面(或右面)上的投影图为空间四边形DOEF在上面(或下面)上的投影答案：15解析：设AEx，BE6x，V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C，且V1V2V3141，所以(3x)4(6x)34(3x)4141，解得xAE2，A1E，SA1EFD14.答案：416解析：取CC1的中点F，连接EF，EF交平面BB1D1D于点N，且ENFN，所以F点是E点关于平面BB1D1D的对称点，则AMMEAMMF，所以当A，M，F三点共线时，AMMF最小，即AMME最小，此时AMMFAF.答案：a三、解答题17解：(1)如图所示 (2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA2，SVBC226.18解析：(1)证明：因为ACCB，ACB90，D是AB的中点，所以CDAB，又因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1，又ABAA1A，CD平面ABB1A1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，ACCBAA12，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，C(0,0,0)，C1(0,0,2)显然平面A1AC的法向量为m(0,1,0)，设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，则，即，令x1，则n(1，1，1)，令m，n的夹角为，则cos ，二面角DA1CA的余弦值为，其正切值为.19解析(1)证明：因为三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，又因为CN平面ABC，所以AA1CN.因为ACBC2，N是AB中点，所以CNAB.因为AA1ABA，所以CN平面ABB1A1.(2)证明：取AB1的中点G，连结MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NGBB1，NGBB1.又因为CMBB1，CMBB1，所以CMNG，CMNG.所以四边形CNGM是平行四边形所以CNMG.因为CN平面AMB1，GM平面AMB1，所以CN平面AMB1.(3)由(2)知GM平面AB1N.所以VB1AMNVMAB1N4.20解析：方法一：(1)过点M作MEAB交PA于E点，连接DE.要使MN平面PAD，则MNED，四边形MNDE为平行四边形，EM綊DN.又EM綊AB，而ABCD，DNCD，DN.(2)MNED，直线MN与平面PAB所成的角即为直线ED与平面PAB所成的角PA面ABCD，PAAD，而ABAD，DA面PAB，DEA为直线ED与平面PAB所成的角由题设计算得DE，sinDEA.方法二：过点M作MEAB交PA于E点，连接DE.要使MN平面PAD，则MNED，四边形MNDE为平行四边形以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示则由题意得A(0,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、P(0,0,1)、M、N.(1)D，|D|.(2)PA面ABCD，PAAD，而ABAD，DA面PAB.又N，D(1,0,0)，cosN，D，直线MN与平面PAB所成的角的正弦值为.21解析：(1)证明：连接AC、BD，则BDAC，MNAC，BDMN.又DD1平面ABCD，DD1MN，BDDD1D，MN平面BDD1.又P无论在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1，无论点P在D1D上如何移动，总有BPMN.(2)以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系设正方体的棱长为1，AMNCt，则M(1，t,0)，N(t,1,0)，B1(1,1,1)，P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，(0,1t,1)，B又BP平面MNB1，B0，即t10，t，M.设平面MNB1的法向量n(x，y，z)，由，得xy，zy.令y3，则n(3,3，2)AB平面BB1N，A是平面BB1N的一个法向量，A(0,1,0)设二面角MB1NB的大小为，cosn，A.则二面角MB1NB的余弦值为.(3)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1平面ACC1.证明：BDAC，BDCC1，BD平面ACC1.取BD1的中点E，连接PE，则PEBD，PE平面ACC1.PE平面APC1，平面APC1平面ACC1.22【解析】(1)因为A1A平面ABC，BC平面ABC，所以A1ABC.因为AB是圆O的直径，所以BCAC.又ACA1AA，所以BC平面A1ACC1，而BC平面B1BCC1，所以平面A1ACC1平面B1BCC1.(2)设圆柱的底面半径为r，则ABAA12r，故三棱柱ABCA1B1C1的体积V1ACBC2rACBCr.又因