一线名师指点高考数学同步辅导第7讲函数的单调性

一线名师指点07年高考数学同步辅导第7讲函数的单调性【考点回放】函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制1函数单调性的定义：2证明函数单调性的一般方法: 定义法：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则在A内为增函数；在A内为减函数3求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法4复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数；若f与g的单调性相反，则为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集5一些有用的结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数 函数在上单调递增；在上是单调递减【考点解析】1、确定函数的单调区间(1)f(x)2x33x212x1(2)f(x)log2(4x2)(3)f(x)axax(a0且a1)解析：(1)f(x)6x26x12，令f(x)0则x12，x21列表格单调增区间为：(，2)及(1，)，单调减区间为：(2，1) (2)f(x)log2(4x2)的定义域为(2，2)f(x)log2e，令f(x)0，x0列表：单调增区间为：(2，0)，单调减区间为：(0，2) (3)f(x)axax，f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax)当a1时，f(x)0，函数单调递增当0a1时，f(x)0)在(0，)上是单调函数解析：f(x)a，(0，1)当a1时，f(x)0，恒成立，单调递减当a0时，xln(1x)证明：令f(x)xln(1x)x0，f(x)10，f(x)f(x)在(0，)是单调增函数f(x)f(0)，则xln(1x)0ln10 xln(1x)5证明：f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数证明：f(x)当0x1时，f(x)0f(x)为增函数当1x2时f(x)0，f(x)为减函数6求证：ex1x(x0)证明：令f(x)ex1xf(x)ex1若x0则ex1f(x)0，f(x)为增函数，f(x)f(0) 即ex1xe0100，ex1x若x0则ex1f(x)0，f(x)为减函数， 仍有f(x)f(0)ex1x7f(x)ax3x恰好有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间解析：f(x)ax3xf(x)3ax21令f(x)0若a0时，a0时方程f(x)0无解 而此时f(x)0恒成立f(x)为增函数，与已知有三个单调区间矛盾若a0时，x显然有三个单调区间(，)，(，)，(，)当x时f(x)0， f(x)为增区间当x或x时f(x)0， f(x)为减区间综上，a0时，恰好有三个单调区间(，)递减，(，)递减，(，)增区间8（2006北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是（A） （B） （C）（D）解析：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax1且3a0，解得1a3，又当x1时，（3a）x4a35a，当x1时，logax0，所以35a0解得a，所以1a0,且a1)是R上的增函数，求a的取值范围3设函数f(x)= (a0),求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,+)上是单调函数4函数y=的递减区间是 5求y=log07(x2-3x+2)的单调区间及单调性6求y=8+2log05x -log052x的单调区间及单调性7函数y=lncos(x/3+p/4)的递减区间是 8函数y=loga(2-ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是 9已知奇函数f(x)在定义域-2,2上递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)0,a1,有f(logax)=(1)求f(x)的表达式，并证明f(x)在(-,+)上是增函数；(2)求证：对于任意大于1的自然数n,f(n)n成立11写出函数f(x)=log05|x2-x-12|的单调区间12比较下面三个数的大小：, , 13设奇函数f(x)在0,+）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f(kx)+f(x-x2-2)0,且q1,数列an是首项和公比都为q的等比数列，设bn=anlog5an (nN),(1)当q=5时，求数列bn的前n项和Sn；(2) 在(1)的条件下，求;(3)在数列bn中，对于任意自然数n，当mn时，都有bmbn,求q的取值范围15甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？16函数f(x)=log05|sinx-cosx|的单调递增区间是 单调递减区间是 参考答案：1 a0,f(x)递减；a0,f(x)递增2 a(0,1)(2,+)3 a1时，f(x)递减； 0a1时，存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性4（(-,-3)5在(-,1)上递增；在(2,+)上递减 6在(0,1/2上递增；在1/2,+)上递减 7 6kp-3p/4,6kp+3p/4 kZ8 (1,2) 9 -1mnf(n)+1n+1,证明f(n+1)f(n)+1n+111作图，在(-3,1/2和(4,+)上递减，在(-,-3)和1/2,4)上递增）12 13 -2-1k1或qc,则y在(0,c上为减函数，从而当v=c时，全程运输成本最小16 kp+3p/4,kp+5p/4) (kZ)；(kp+p/4,kp+3p/4 (kZ)【实战演练】1.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) (A)3，+ ) (B)(-，-3 (C)-3 (D)(-，5 2.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x(-2，+)时是增函数，当x(-，-2)时是减函数，则f(1)等于( )B (A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m而决定的常数3.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( )B (A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5)4函数在区间（1，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，则（ ）ABCD5函数的一个单调递增区间是d（A） （B） （C） （D）6若函数在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（ ）ABCD7函数在（ ）（A）（，）上是单调增函数（B）（，）上是单调减函数（C）1，1 上是单调增函数，（，1）和（1，）上分别是单调减函数（D）1，1 上是单调减函数，（，1）和（1，）上分别是单调增函数8.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )B(A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y= (D)y=x2-4x+39.函数y=的递增区间是( )B (A)(-，-2) (B)-5，-2 (C)-2，1 (D)1，+)10函数，其中为实数，当时，在上是 A 增函 B 减函数 C 常数 D 既不是增函数也不是减函数 11函数的递减区间是 .12函数恒成立，则b的最小值为 3/2 .13已知函数的值域为R，且f(x)在（上是增函数，则a的范围是 .0,214.已知函数f(x)=x2-2ax+a2+b，(1)若f(x)在(-，1)上是减函数，则a的取值范围是_；(2)若对于任意xR恒有f(x)0，则b的取值范围是_1，（2）b0；15函数在上是增函数，求的取值范围分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：对任意的总有；当时，恒成立解：函数在上是增函数，对任意的有，即，得，即， ，要使恒成立，只要；又函数在上是增函数，即，综上的取值范围为另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，在上是增函数，且在上恒成立，得16.（2006天