上海普陀区高三数学质量检测卷

2006年上海市普陀区高三数学质量检测卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不给分.1. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 2. 与向量平行，且满足的向量 . 3. 底面边长为2的正四棱锥的侧棱和底面所成角的大小为，则该棱锥的体积为 .4. （理）椭圆的焦距为 . 4. （文）某工序如下表所示，则完成该工序的工程总时数为 天. 工序紧前工序、工时（天）236225. 函数的定义域为 . 6. 已知函数在区间内的函数值有正有负，则实数的取值范围是 . 7. 函数的值域是 . 8. （理）抛物线的焦点坐标为 . 8. （文）坐标平面内，满足不等式组的区域中，使目标函数取得最大值的点的坐标是 _ 9. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则方程的解为 .10. （理）若是等差数列，首项且满足，则使数列前项和成立的最大自然数是 .10.（文）口袋中有红球2个，黑球3个，白球5个，它们只有颜色不同.从中摸出四个，摸出的球中恰好为两个红色球和两个黑色球的概率是 . （用分数表示结果）11. 设无穷等比数列的各项和为，且满足，则 .12. 类比椭圆性质的研究，试写出一个关于曲线的性质： .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13. 已知是第四象限角，则方程所表示的曲线是 （ ）A. 焦点在轴上的椭圆； B. 焦点在轴上的椭圆；C. 焦点在轴上的双曲线； D. 焦点在轴上的双曲线.14. 已知数列，那么“对任意的正整数，点都在直线上”是“数列为等差数列”的 （ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.15. （理）已知，则 （ ） A. ； B. ； C. ； D. .15. （文）互不相等的四个正数、依次成等比数列，则与的大小关系是 （ ）A. ； B. ；C. ； D. 无法确定.16. 为了进一步保障手机消费者权益，上海市工商行政管理部门于2006年3月15日起对上海市移动电话买卖合同规范文本作出了调整.新合同条款规定：对符合换货条件但消费者要求退货的情况，按照移动电话“三包”规定，消费者应按照“移动电话价款 0.25% 购买天数”来支付折旧费.而原先的合同则规定“折旧费移动电话价款0.5%购买天数”. 据以上合同条款内容的修改，以下说法不正确的是 （ ） A. 若按新条款计算，一位消费者购买一台价格为2200元的手机150天时合理要求退货，他需要为此支付825元折旧费；B. 实行新合同条款之后，在相同的条件下消费者需要支付的移动电话折旧费减少为原来的一半；C. 若按原合同条款计算，当购买天数超过200天后，退货就失去了意义；D. 新合同实施后，消费者购买的手机价格越低，在退货时对消费者越有利.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。PABCDEM17.（理）当时，若关于的方程有两个相等的实数根，求实数的取值范围.（文）如图，四棱锥的底面中，.点在上，且，为的中点. 试在上找一点，使得，说明你的理由.18. （理）如图，在四棱锥中，底面，. 底面满足，且. 点在上，且，为的中点. 试在上找一点，使得，说明你的理由.PABCDEM（文）同理科第17题19. 一家公司现有职员人（，），每人每年可创利10万元.为了提高人力资源的效率，据评估，在经营条件不变的前提下每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创利万元，但公司需支付下岗员工每人每年4万元的违约金.已知该公司正常运作所需人数不能小于现有员工的.在此条件下，为创造最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 已知：过点的直线交双曲线于A、B两点，且.（1）求直线AB的方程；（2）若过点的直线l交双曲线于C、D两点，且满足，为中点，求三角形的面积.21. 已知函数的图像经过点和点，且数列满足，记数列的前项和为（）.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）是否存在这样的正整数和，使得等式成立（其中）？若存在，试求出对应的正整数和；若不存在，请说明你的理由.22. 定义：复数是（、）的转置复数，记为.显然，即与互为转置复数.（1） （理）我们已知共轭复数满足一些运算性质，如：等；还有一些常用结论，如：等. 尝试发现两个有关转置复数的运算性质（如：）或其他结论，并证明之；（1） （文）设（、），证明转置复数具有以下性质：； ；（2） 对任意的两个复数、，定义运算“*”：*.设（、），求复平面上的点集所围成区域的面积；（3）（理）现将求复数的相反数、的共轭复数、的转置复数看成复数的三种运算，把对进行这三种运算中的若干种运算后得到的复数称为由生成的复数，并记由生成的的复数集合为.设（、且，），试判断与集合之间的包含关系；若从中任取两个复数，求这两个复数恰好互为转置复数的概率.（3）（文）现将求复数的相反数、的共轭复数、的转置复数看成复数的三种运算，把对进行这三种运算中的若干种运算后得到的复数称为由生成的复数，并记由生成的复数集合为.设（、且，），请用列举法写出集合，并判断与集合之间的包含关系.参考答案一、 填空题：（41248）题号12345答案理：；文：10题号6789答案理：；文：0； 题号101112答案理：46；文：3（开放题）曲线关于直线对称；曲线关于直线对称；曲线关于原点中心对称；曲线位于和所围成的正方形内；曲线是面积大于的封闭图形；等.二、 选择题：（4416）题号13141516答案CABD三、解答题：17. （理）解：因为方程有两个相等的实数根，则有，即.当时，所以，即.17. （文）解：点为中点. 证明：因为在中，为的中点，点为中点，所以；又，且，所以四边形为矩形，所以. 所以.18. （理）如下图，以点为坐标原点，、和分别为轴、轴和轴正方向建立空间直角坐标系. PABCDEMNxyz由条件，所以，.则可得，.因为点在上，不妨设，则点的坐标为，所以.因为，可得.即点为满足题意的点.（即点位于处.）18. （文）见理科17题19. 解：设裁员人数为，其中由题意，公司获得的经济效益为，则， .因为，所以当，即（）时，在处取到最大值； 当，即（）时，在处取到最大值.答：综上所述，当（）时，应裁员人；当（）时，应裁员人.20. 解：（1）设直线AB的方程为，代入得 （） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（）的两根 ，（），是AB的中点，则， 可得k = 1，代入可解得直线AB的方程为.（2）（理科）解：将k = 1代入方程（）得，或. 由，得，所以， ，得. 因为，所以CD垂直平分AB，所以CD所在直线的方程为即，代入双曲线方程，整理得.令，CD的中点，则，代入方程可得，所以点的坐标为.又直线的方程为，则到的距离为.于是，.21. （1）解：由条件，得于是，则，.又因为，所以数列的通项公式为，.（2）解：因为，所以即.于是，故.（3）因为假设存在这样的正整数和，使得成立，即等式成立，亦即成立.因为正整数和满足，所以.则有，而当时，又，所以.又当时，且，所以.故不存在这样的正整数和，使得等式成立.22. （理科）（1）答：结论开放.转置复数的运算性质有：对任意的两个复数、，都有.（其中加法性质题中条件已给出，故减法性质算是一个性质.）证： 设，（、都是实数），由；.所以，成立.其他结论还有：； ；等.证：设，则，即.证：由的结论可得，.证：由的结论可得，.（2）解：由运算“*”的定义得：*=.这表明在复平面上，点集的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆，该圆围成区域的面积是.（3）解：当且，时，仅由求的相反数和共轭复数两种运算可以生成的复数有：，共四个；而由求的转置复数的运算可以生成的复数有：，共四个.由于求一个复数的相反数和求共轭复数的