2017年4月份学而思杯五年级数学试卷解析

1 绝密绝密启用前启用前 2017 年年第十一届第十一届北京市北京市小学生综合能力小学生综合能力测评测评 （学而思杯学而思杯） 五年级五年级数学试卷数学试卷 考试时间：90 分钟 满分：150 分 考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡 上，解答题答写在答题纸 上 第第卷卷（填空题共填空题共 104 分分） 考生须知考生须知：请将填空题答案填涂在请将填空题答案填涂在答题卡答题卡 上上 一一、 填空题填空题（共共 4 道小题道小题，每题每题 5 分分，共共 20 分分） 1. 清明节是中国民间最重要的“八节”（上元、清明、立夏、端午、中元、中秋、冬至和除 夕）之一今年清明节是 4 月 4 日，那么，8 和 4 的最大公因数是_ 【考点】最大公因数，数论 【难度】 【答案】4 【分析】8 和 4 的最大公因数是 4 2. 定义新运算 a babab ， 例如 3 232325 那么，6 4 _ 【考点】定义新运算，计算 【难度】 【答案】20 【分析】 6 4646410220 3. 下图中有_个三角形 【考点】几何计数，计数 【难度】 【答案】9 【分析】如图，有 012、023 4. 薇儿有一些铅笔和钢笔 薇儿有_支铅笔 【考点】差倍问题，应用题 【难度】 【答案】12 【分析】设钢笔有 x 支，那么铅笔有 3412支铅笔 二二、 填空题填空题（共共 4 道道小小题题 5. 艾迪和薇儿进行一场计算比赛 的 1 2 ；薇儿答对第二题 有_张积分卡 【考点】分数应用题，应用题 【难度】 【答案】60 【分析】积分卡的总量为“1” 对应，原本共有 1 1060 6 6. 下图是由 14 块尺寸相同的小正方体拼成的立体图形 提下，至少还需要_ 2 023、013、045、056、046、078、089、079 共 9 个三角形 薇儿有一些铅笔和钢笔，其中铅笔的数量是钢笔的 3 倍，且铅笔比钢笔 铅笔 应用题 那么铅笔有 3x 支列方程：38xx，解得：x 题题，每题每题 6 分分，共共 24 分分） 艾迪和薇儿进行一场计算比赛，以积分卡作为奖品艾迪答对第一题， 薇儿答对第二题，奖励积分卡总量的 1 3 最终还剩 10 张积分卡 应用题 “1”，最终剩下的积分卡对应的分率是 111 1 236 1060张积分卡 块尺寸相同的小正方体拼成的立体图形在不移动图中已有小正方体的前 _个同样大小的小正方体，才能拼成一个完整的实心正方体 4 0 9 87 65 321 个三角形 比钢笔多 8 支那么， 4因此薇儿有 奖励积分卡总量 张积分卡那么，原本共 236 ，所以根据量率 在不移动图中已有小正方体的前 才能拼成一个完整的实心正方体 3 【考点】正方体体积，几何 【难度】 【答案】13 【分析】一个完整的大正方体共有33327 个小正方体，图中共有 14 个小正方体因此 还需要271413个小正方体 7. 我们把只由数字 0 和 8 组成的非零自然数叫做“球球数”， 那么， 能被 15 整除的最小 “球 球数”是 _ 【考点】整除特征与最值，数论 【难度】 【答案】8880 【分析】能被 15 整除的自然数，即既能被 3 整除也能被 5 整除的自然数根据 5 的整除特 征确定出“球球数”的个位数字一定为 0又因为 8 除以 3 的余数为 2，因此球球数至少需 要 3 个数字 8，才能满足被 3 整除综上所述，最小的“球球数”是 8880 8. 在下面的乘法数字谜中，两个乘数之和是_ 2 0 1 77 【考点】数字谜，组合 【难度】 【答案】240 【分析】 2 10 61 77 205 3 102 615 717 205 35 1025 615 7175 因此两个乘数之和是 205+35=240 4 三三、 填空题填空题（共共 4 道小题道小题，每题每题 7 分分，共共 28 分分） 9. 已知循环小数0. 25 27 N a 那么 N=_ 【考点】循环小数，计算 【难度】 【答案】25 【分析】 25 0. 2599927 253725 2799927 NaN aNaNa 25 41 3725 41 37 a NaN ，由于 37 与 25 互质，因此37 41a ，得9a ，带 入得 25 491 25 37 N 10. 如下图，正方形内接于圆，以正方形边长为直径做两个半圆，已知正方形面积是 18 平 方厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米 【考点】圆与扇形，几何 【难度】 【答案】9 【分析】根据图中由正方形的面积可得 22 9 (2 )18 2 aa，根据勾股定理可得 22222 29aarra， 那么阴影面积是 222 111 229 442 raa 平方厘米 a r r 5 11. 博士在纸上写出一个各位数字互不相同的三位数abc，艾迪在三位数前填上数字 a，组 成的四位数aabc恰好是 a 的倍数；薇儿在三位数前填上数字 b，组成的四位数babc恰 好是 b 的倍数；大宽在三位数前填上数字 c，组成的四位数cabc恰好是 c 的倍数那 么三位数abc的最大值 是_ 【考点】整除特征，数论 【难度】 【答案】936 【分析】由于是求abc的最大值，那么不妨设9a ，则有9 99 99bcbcbc 则9bc，枚举验证:8不能整除 8981，7 不能整除 7972，6 不能整除 6963，5 不能 整除 5954，4 不能整除 4945，而 3 能整除 3936，且 6 能整除 6936，因此abc的最大 值是 936 12. 下图的每个方格中填入16中的一个数字，使得每行、每列和每个粗线宫内数字都不 重复，且每条线上的数都是回文数，例如：121、3443 这样对称的数都叫做回文数那 么，四位数_ABCD 【考点】数独 【难度】 【答案】6314 【分析】 D C B A 215 642 6 四四、 填空题填空题（共共 4 道小题道小题，每题每题 8 分分，共共 32 分分） 13. 一个各位数字互不相同的五位数， 如果万位， 千位， 百位的数字依次增大； 百位， 十位， 个位的数字依次减小，我们称这样的数为“宝塔数”那么符合条件的“宝塔数”有 _个 【考点】排列组合，计数 【难度】 【答案】1134 【分析】设这个五位数为abcde，则有abc ，c de分为两类： 情况 1：含有数字 0，那么数字 0 一定在个位，共有 42 93 378CC种情况 情况 2：不含数字 0，那么共有 52 94 756CC种情况 因此共有3787561134个宝塔数 14. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，C、D 分别是 AB 的三等分点甲在 AC 段和 DB 段的速度是 3 米/秒，在 CD 段的速度是 2 米/秒；乙的速度是 4 米/秒已 知甲乙第一次相遇地点和第二次相遇地点相距 760 米，那么 AB 两地的距离是_ 米 【考点】比例行程，行程 【难度】 【答案】1890 【分析】甲在 AC 段和 DB 段时，甲乙的速度比为 3:4;甲在 CD 段时，甲乙的速度比 1:2根 据时间一定，路程比等于速度比，相同的标号代表相同的时刻，将全程平均分为 9 等 分，如图： 从甲乙同时出发到时刻：甲走 3 份，乙走 4 份；从时刻到时刻：甲 走 2 3 份，乙走 4 3 份；从时刻到时刻：甲走 7 3 份，乙走 14 3 份，时刻甲到距 A 点 1 3 4 1 23 4 5 6 1 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 65 4 3 2 1 21 5 62 DCBA 7 份的位置； 从时刻到时刻： 甲走3份， 乙走4份； 从时刻到时刻： 甲走 12 7 份， 乙走 16 7 份在整个过程中，第一次相遇是在时刻，第二次相遇是在时刻时刻 与时刻相距 16276 53 7321 份，那么全程的距离为 76 76091890 21 米 15. 定义 n M为 1, 2, 3, . , n 的最小公倍数，例如： 3 1,2,36M， 4 1,2,3,412M ， 8 1,2,3,4,5,6,7,8840M ，若 N 是 100 M的因数个数，那么 N 有_个奇因数 【考点】因倍质合，数论 【难度】 【答案】12 【分析】 6422 100 1,2,3,99,100235711 1397M，根据因数个数定理有： 21 212 6 14 12 12 11 1235 7 N，求 N 的奇因数时，不能含 有质因数 2，所以 N 的奇因数共有 211 11 112个 16. 如图，已知正六边形 ABCDEF 的面积是 18 平方厘米，分别以正六边形邻边对角线为边 向外作六个大正六边形，那么阴影部分面积是_平方厘米 乙 甲 DCAB F E D C B A 8 【考点】正多边形，几何 【难度】 【答案】150 【分析】根据图形的对称性，阴影面积可以分成 6 个部分，每部分的面积相等，因此只需要 算出其中一部分即可如图所进行图形分割，将正六边形 ABCDEF 平均分成 18 份， 那么每份的面积为 1 平方厘米则其中一个阴影面积是2 27 325 平方厘米，因 此总共阴影面积为25 6150平方厘米 第第卷卷（解答题共解答题共 46 分分） 考生须知考生须知：请将解答题解题过程及答案书写在请将解答题解题过程及答案书写在答题纸答题纸 上上 五五、 计算计算题题（共共 4 道小题道小题，每题每题 4 分分，共共 16 分分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1） 111 666666666 236 （2） 111 120 1 22 33 4 【考点】 （1）提取公因数，计算（2）分数裂项，计算 【难度】 【答案】 （1）666 （2）90 【分析】 （1）原式= 111 666 236 666 1 666 F ED C B A 1 2 32 3 3 3 3 3 3 1 9 （2）原式= 11111 1120 22334 3 120 4 90 18. 解下列方程或者方程组，写出简要的解方程过程与方程的解： （1） 11 23 xx （2） 25 220 xy xy 【考点】方程，计算 【难度】 【答案】 （1） 5x ； （2） 6 7 x y 【分析】 （1） 11 23 xx 2131 2233 5 xx xx x （2） 25 220 xy xy 由2得： 4210 220 xy xy 由+ 得： 530x解得6x 将6x带入到式中，解得 7y 综上所述：此方程组的解为 6 7 x y 10 六六、 解答题解答题（共共 2 道小题道小题，每题每题 15 分分，共共 30 分分） 19. 如图一所示，梯形 ABCD 中 ABCD 且 CD=2AB，E 为 BC 边中点，连接 AC 和 BD 相 交于 O 点，连接 AE 与 BD 相交于 P 点 图一 图二 （1）三角形 BCD 的面积是三角形 ABD 面积的_倍 （3 分） （2）请求出 AP：PE=_ （4 分） （3）请求出 BP：PO=_ （4 分） （4）如图二所示，连接 DE 交 AC 于 Q 点，已知三角形 DOQ 与三角形 QEC 的面积差为 20，求出四边形 OPEQ 的面积（请写出简要过程） （4 分） 【考点】比例模型，几何 【难度】 【答案】 （1）2 （2）1:1 （3）3:1 （4）13 【分析】 （1）三角形 BCD 与三角形 ABD 等高，因此:2:1 BCDABD SSCD AB，那么三角 形 BCD 的面积是三角形 ABD 面积的 2 倍 （2） 设梯形 ABCD 的总面积为 1， 根据第一问的结论可得 21 , 33 BCDABD SS ，又因为 E 是BC边的中点， 因此 211 323 BDE S 根据风筝模 1 1 :1:1 3 3 ABDBDE AP PESS （3）已知 :1:1;:1:1BE ECAP PE ，在三角形 ABC 中连接 PC，根据燕尾模型，标出 份数，如图，得:3:1 APBAPO BP POSS O P E D C BA Q O P E D C BA E D C B A P 11 （4）根据差不变原理： DOQQECDOQDQCQECDQCDOCDEC SSSSSSSS，因此 20 DOCDEC SS设梯形 ABCD 的总面积为 1，根据梯形中的蝴蝶定理： :1:2:2:4 AOBBOCAODDOC SSSS，因此 44 12249 DOC S另一方面 1121 2233 DECDBC SS， 因此梯形 ABCD 的总面积是 41 20180 93 在四边形 ADEC 中 2 1 :4:1 3 6 ADCAEC DQ QESS，在第（3）问中，可求得 111 31236 APO S由于 E 是 BC 的中点，因此 1 2 ADE S(一半模型)最终四边形 OPEQ 的面积= AQEAPO SS 111 18013 21436 20. n 是一个自然数，若一串自然数从小到大排成一排： 1234 , . , l aaaaa（其中 1 1, l aan） ，满足任意两个相邻的自然数后者是前者的倍数，则称 1234 ,aaaa 5, . ,l aa 是 n 的一条因数链，l 是该因数链的长度我们用 L(n) 表示 n 的最长因数 链的长度 ，R(n) 表示 n 的最长因数链的条数 例如：当6n 时，有1,2,6和1,3,6共 2 条最长因数链，所以有 L(6)=3，R(6)=2 当12n 时，有1,2,4,12、1,2,6,12和1,3,6,12共 3 条最长因数链，所以有 L(12)=4，R(12)=3 根据题意，解下列问题： （1）判断对错(每空 1 分，共 4 分)： L(4)=3 （ ） R(4)=2 （ ） L(20)=5 （ ） R(20)=3 （ ） （2）若 n=1000，计算： L(n)= _ （2 分） 2