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一线名师指点07年高考数学同步辅导第30讲线段的定比分点与平移【考点回放】1线段的定比分点定义:设P1,P2是直线L上的两点,点P是L上不同于P1,P2的任意一点,则存在一个实数,使,叫做点P分有向线段所成的比当点P在线段上时,;当点P在线段或的延长线上时,02定比分点的向量表达式:点P分有向线段所成的比是,则(O为平面内任意点)3定比分点的坐标形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)4中点坐标公式: 当=1时,分点P为线段的中点,即有5的重心坐标公式:6图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同一方向移动同样长度,得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移7平移公式: 设点按向量平移后得到点,则+或,曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为: 这个公式叫做点的平移公式,它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系【考点解析】1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为A.y=f(x+1)2B.y=f(x1)2C.y=f(x1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由平移公式得a=(1,2),则平移后的图象的解析式为y=f(x1)+2.答案:C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y24y=4x,则向量a为A.(1,2)B.(1,2)C.(4,2)D.(4,2)解析:设a=(h,k),由平移公式得代入y2=4x得(k)2=4(h),22k=44hk2,即y22ky=4x4hk2,k=2,h=1.a=(1,2).答案:A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示:由y24y=4x,配方得(y2)2=4(x+1),h=1,k=2.(知道为什么吗?)3.设A、B、C三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分所得的比为A.B.C.D.解析:设A点分所得的比为,则由2=,得=.答案:C4.若点P分所成的比是(0),则点A分所成的比是_.解析:=,=(+).(1+)=.=.=.答案:5.(理)若ABC的三边的中点坐标为(2,1)、(3,4)、(1,1),则ABC的重心坐标为_.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 重心坐标为(,).答案:(,)(文)已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为32,则m的值为_.解析:设M(x,y),则x=3,y=5,即M(3,5),代入y=mx7得5=3m7,m=4.答案:46(2006辽宁卷)设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 解析:解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B. 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.【考点演练】考点1、定比分点坐标公式1.已知点,线段上的三等分点依次为、,求、,点的坐标以及、分所成的比。xP1OyB(5,2)A(-1,-4)P2解:设、,则,即,即由,得:,;由,得:,;思维点拨:定比是根据求得的,必须搞清起点、分点、终点。顺序不可搞错。2.在中,已知顶点A的坐标为(3,1),AB的中点为D(2,4),的重心为G(3,4),求顶点B、C的坐标。利用中点坐标公式,及重心坐标公式易得B(1,7)、C(5,4).3.在中, A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求CA平分线AT的长。答案=考点2、平移公式1、(1)把点A(3,5)按向量平移,求平移后对应点A的坐标。(2)把函数的图象按向量平移得F,求F的函数解析式。(考例3)解:(1)设A(x,y),根据平移坐标公式得,得得A(7,10)(2)设P (x,y)为F上的任意一点,它在F上的对应点P(x,y),则,即代入中,得到即所以F的函数解析式为思维点拨:正确选择平移公式,强化代入转移去思想。2.若直线x+2y+m=0,按向量平移后与圆C:相切,则实数m的值等于(D)A、3或13 B、3或-13 C、-3或7 D、-3或-13简解:平移后的直线方程x+2y+m+5=0,由几何意义得得m=-3或-13考点3、利用平移研究函数的性质1是否存在这样的平移,使抛物线:平移后过原点,且平移后的抛物线的顶点和它与轴的两个交点构成的三角形面积为,若不存在,说明理由;若存在,求出函数的解析式。解:假设存在这样的平移,由平移公式即代入得,即平称后的抛物线为,顶点为。由已知它过原点得: 。令,求得。因此它在轴上截得的弦长为。据题意:,代入得。故存在这样的平移或当时,平移后解析式为;当时,平移后解析式思维点拨:确定平移向量一般是配方法和待定系数法,此题采用待定系数法。【题型讲解】例1 已知点,线段上的三等分点依次为、,求、,点的坐标以及、分所成的比解:设、,则,即,即由,得:,;由,得:,;点评:定比是根据求得的,必须搞清起点、分点、终点顺序不可搞错例2 已知ABC的三个顶点为A(1,5),B(2,4),C(6,4),BC边上有一点M,使ABM的面积等于ABC面积的1/4求线段AM的长度分析:关键是求出点M的坐标,而ABC和ABC共用B和边AB把两个三角形的面积比转化为它们相对应的边的比,再转化为M分的比,这是解决此问题的关键解:由=,知,而M是的内分点,故=,由公式求得M(3,2) |AM|=5例3(1)把点A(3,5)按向量平移,求平移后对应点A的坐标(2)把函数的图象按向量平移得F,求F的函数解析式解:(1)设A(x,y),根据平移坐标公式得,得得A(7,10)(2)设P (x,y)为F上的任意一点,它在F上的对应点P(x,y),则,即代入中,得到即所以F的函数解析式为点评:正确选择平移公式,强化代入转移去思想例4 是否存在这样的平移,使抛物线:平移后过原点,且平移后的抛物线的顶点和它与轴的两个交点构成的三角形面积为,若不存在,说明理由;若存在,求出函数的解析式解:假设存在这样的平移,由平移公式即代入得,即平称后的抛物线为,顶点为由已知它过原点得: 令,求得因此它在轴上截得的弦长为据题意:,代入得故存在这样的平移或当时,平移后解析式为;当时,平移后解析式点评:确定平移向量一般是配方法和待定系数法,此题采用待定系数法例5 设函数试根据函数的图象作出的图象,并写出变换过程;的图象是中心对称图形吗?写出的单调区间解:令,化简得,即又令得,由平移公式知,由的图象按向量平移,可得的图象,反之,由的图象按向量平移,可得到的图象,即,将的图象先向右平移2个单位,再向上平移1个单位,便得到的图象由图知,的图象是中心对称图形,其对称中心为单调减区间为和例6 已知ABC的三个顶点的坐标是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求ABC的内心I坐标解:根据角平分线的性质定理结合定比分点的概念解法相当简洁设A的平分线交BC于点D,则=由两点间的距离公式可求出c=|AB|=,类似的可求出|CA|(设为b)和|BC|(设为a),由定比分点的坐标公式可得I(x,y)为:例7 定点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上的动点,POA的平分线交PA于Q 求Q点的轨迹方程分析:角平分线条件的转化,是本题的关键 设Q(x,y),P(x1,y1),思路是找出P和Q两点坐标之间的关系,列参数方程解:设Q(x,y),P(x1,y1),点Q分AP的比为AQ/QP=|OA|/|OP|=3,x=, y=x1=4x/31, y1=4y/3,代入=1化简得: (x3/4)2+y2=9/16点评:本题巧妙运用了定比分点的概念,并和角平分线性质定理结合起来,要认真体会并在解题中根据条件灵活运用定比分点的概念小结:1运用有向线段的定比分点公式时,应注意有向线段的起点及终点的位置及“内分”,“外分”的不同特点P在直线P1P2上的位置与的值是一一对应的具体求或定比分点坐标时,要注意根据给定条件利用平面几何的主要结论比如平行线的性质,角平分线的性质定理等2使用平移公式时,要注意:点的平移时,给定平移向量由旧标求新标用公式;由新标求旧标用公式图形平移时,给定平称向量,由旧解析式求新解析式,用式子代入旧式整理得到;由新解析式求旧解析式,用公式代入新式整理得到3直角坐标系中通过坐标平移,曲线方程的次数不变曲线的形状大小不变,变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便【基础演练】1已知点A分有向线段的比为2,则在下列结论中错误的是( )A点C分的比是-B点C分的比是-3C点C分的比是-D点A分的比是22已知两点P(,)、(,),点P(,)分有向线段所成的比为,则、的值为( )A, B, C, D,3ABC的两个顶点A(3,7)和B(-2,5),若AC的中点在x轴上,BC的中点在y轴上,则顶点C的坐标是( )A(2,-7) B(-7,2) C(-3,-5) D(-5,-3)4已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上,那么x= 5ABC的顶点A(2,3),B(-4,-2)和重心G(2,-1),则C点坐标为 6已知M为ABC边AB上的一点,且,则M分所成的比为 7ABC的两个顶点是A(1,0),B(0,3),重心G(2,2),则C点的坐标是 8若点P分所成的比为2/3, 则点A分的比是 ,B分的比是 9已知点P分的比为(0),则点P分的比为 ,点B分的比为 10已知A(x,5),B(2,y),直线AB上的点C(1,1)使得|AC|=2|BC|,则x= y= 11已知点A(-1,-4)、B(5,2),线段AB上的三等分点依次为P、,求、点的坐标以及A、B分所成的比12过P(,)、(,)的直线与一次函数的图象交于点P,求P分所成的比值13已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1),一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标参考答案:1D 2C 3A 42或 5(8,-4) 6 7(5,3) 8 (2/5),(5/3) 9 (1/),(1)10(7或5); (1或3) (1)由|AC|=2|BC|,则=AC/CB有两个值:2和2, =2时,x=7,y=1; =2时,x=5,y=3(2) 用坐标计算的计算公式11P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比1、2分别为-,-2 12 13(,),(,),(,) -5【实战演练】1已知点,点在线段的中垂线上,则点的横坐标的值是 ( )A. B. C. D. 2已知,直线与线段交于,且,则等于 ( )A. B.C.或D.或3若点分所成的比为,则分所成的比为 ( )A. B. C. D. 4设线段的长为5cm,写出点分有向线段所成的比为(1)点在线段上,则=_。(2)点在的延长线上,则=_。6(3)点在的反向延长线上,则=_。5把函数的图像按向量平移后得到的图像的函数解析式为,则=_。(2,1)6把函数的图像按向量平移后得到函数的图像,则平移前图像的函数解析式为_。7已知点A(2,3)、B(10,5),直线AB上一点P满足|PA|=2|PB|,则P点坐标是AB(18,7)C或(18,7)D(18,7)或(6,1)8ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为A19B19C18D149已知函数按向量平移所得图象的解析式为,当为奇函数时,向量可以是ABCD10如果42=(2,2),=(1,),=3,|=4,1)求、夹角。2)求向量的坐标解:(理科)=(1,),、夹角为60, |=4,=(4,0)或(2, 2),又42=(2,2), =()或()11设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx, sin2x),xR.()若f(x)=1且x,求x;()若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.12把抛物线怎样平移,才能使平移后的抛物线与的两个交点关于原点对称,并求出平移后函数的表达式.设按向量平移,则代入得即平移后的函数式.4分,由得,设它们的交点为,则由,8分 又即故按向量平移满足条件,这时平移后的函数表达式为12分13(2006湖北模拟)(12分)设R,i,j为直角坐标系的单位向量,a=xi+(y+2)j,b=xi+(y2)j,|a|+|b|=8(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程(2)过A(0,3)作直线L与曲线C交于A、B两点,若是否存在直线L使得OAPB为矩形,若存在,求出直线L的方程,若不存在,说明理由解(1)a=xi+(y+2)j b=xi+(y+2)j |a|+|b|=8动点M(x,y)是到定点F1(0,2),F2(0

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