一线名师指点高考数学同步辅导第27讲平面向量的坐标运算

一线名师指点07年高考数学同步辅导第27讲平面向量的坐标运算【考点回放】1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:0时,与同向;0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明直线AC经过原点O解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(y2)则 与共线 即 （*）而代入（*）式整理得，y1y2=-p2因为 与是共线向量，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)欲证A、O、C共线，只需且仅需，即又 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了例8 已知向量与的对应关系用表示（3） 证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（4） 设，求向量及的坐标；求使，（p，q为常数）的向量的坐标解：（1）设，则，故，（2）由已知得=（1，1），=（0，1）（3）设=（x，y），则，y=p，x=2pq，即=（2Pq，p）例9 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中且，则点C的轨迹方程为（） 解法一：设，则由得于是先消去，由得再消去得所以选取D解法二：由平面向量共线定理，当，时，A、B、C共线因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D小结：1熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算2两个向量平行的坐标表示3运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合【基础演练】1若向量与向量相等，则( ) Ax=1,y=3 Bx=3,y=1 C x=1,y= -5 Dx=5,y= -12点B的坐标为(1,2)，的坐标为(m,n)，则点A的坐标为( ) A B C D3已知向量，, 且与共线，则等于( ) A B 9 C D14已知，=，若与反向，则等于( ) A(-4,10) B(4,-10) C (-1 , ) D(1, )5向量=(2,-1)，=(-4,1) 则= ( ) A (-2,0) B(6,-2) C(-6,2) D(-2,2)6设向量、，则“”是“x1y2=x2y1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分不必要条件 7 平行四边形ABCD的三个顶点为A（-2,1）、B（-1,3）、C（3,4），则点D的坐标是( ) A（2,1） B（2,2） C （1,2） D（2,3）8与向量不平行的向量是A B C D9已知向量，则的坐标是 10已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，=(2,5)，=(-2,3)，则坐标为 ，坐标为 ，的坐标为 11已知=(x1,y1)，=(x2,y2)，线段AB的中点为C,则的坐标为 12已知A(-1,-2)，B(4,8)，C(5,x)，如果A，B，C三点共线，则x的值为 13已知向量，,向量与平行,=4求向量的坐标参考答案:题 号12345678答 案BACBCCBC9 10； 11 12 13或【实战演练】1(04年广东)已知平面向量=（3，1），=（x，3），且，则x= A3 B1 C1 D32（04年天津）已知向量，若与垂直，则实数等于 。 3. 已知a=(1,2)，b=(x, 1)，且a+2b与2ab平行，则x等于D（ ）A1B2CD4的最大值是BAB1CD5在ABC中，已知的值为DA2B2C4D26已知向量，实数m，n满足 的最大值为A2B3C4D167已知向量，且，求实数的值。解：因为，所以，又因为所以，即解得8已知 （1）求； （2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？.解：（1）因为所以则（2），因为与平行所以即得此时，则，即此时向量与方向相反。9.（2006全国II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值解(1). 当=1时有最大值,此时，最大值为本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大10. （2006四川卷）已知是三角形三内角，向量，