第四讲--行程之多人行程与钟面问题

第四讲 行程之多人行程与钟面问题在行程问题中，只出现两者的相对运动，可以表现为相遇和追及两大类，它的一种特殊形式表现为钟面问题。在很多重点中学小升初的入学考试或者其它竞赛中，往往会出现三人或者说多人行程，对这样的专题进行归纳和总结是很有意义的。教学目标 1 回顾基本相遇、追及问题与变速问题；2 精讲：一、 钟面问题：钟面追及、钟面相遇、时钟校准。二、 多人行程：其本质是从两两关系中推出结论。可以看作是多个两者运动关系在某一等量联系下的变化。专题回顾 相遇与追及【例1】 （第三届“走进美妙的数学花园”解题技能展示大赛）猎狗发现北边200米处有一点兔子正要逃跑，拔腿就追。兔子的洞穴在兔子的北边480米，若兔子每秒跑13米，猎狗每秒跑18米，可怜的兔子能逃过这一劫吗？（判断“能”还是“不能”，并说明理由）【例2】 （2006浙江省小学数学活动课夏令营）甲、乙两人的速度之比是5:4,乙先从B地出发行往A地，当走到离B地336米的地方时，甲从A地出发行往B地。结果两人相遇的地方离A、B两地距离之比是3:4,那么A，B两地的距离是 米。 【例3】 （2006年“我爱数学杯”数学竞赛）甲、乙两车同时从A地出发开往B地，甲车的速度为每小时45千米，乙车的速度为每小时50千米。乙车到达B地后立即返回，在距B地5千米处与甲车相遇，那么A，B两地相距 千米。变速问题【例4】 （华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛模拟题）一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇。则乙爬虫原来的速度是 。【例5】 （2006年北京市“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组初赛）甲、乙两地相距100千米，张山骑摩托车从甲地出发，1小时后李强驾驶汽车也从甲地出发，二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时50千米，中途减为每小时40千米；汽车的速度是每小时80千米并在途中停留10分钟。那么，张山骑摩托车在出发 分钟后减速。专题精讲 多人行程：【例1】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。【例2】 A、B、C、O四个小镇之间的道路分布如图所示，其中A、O两镇相距20千米，B、O两镇相距30千米。某天甲、乙二人同时从B出发，甲到达O镇后再向A镇走，到达A镇后又立刻返回，而乙到达O镇后直接向C行进。丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在距离O镇15千米处与乙相遇。当丙到达O镇后又向A镇前行，在与O镇相距6千米的地方与甲相遇。已知甲、乙的速度比为8：9，求O、C两镇之间的距离。ACOB【例3】 （2006年江西省婺源县小学数学竞赛）甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B地时，乙离B地还有30米，丙离B地还有40米；当乙跑到B地时，丙离B地还有16米。A、B两地相距多少米？【例4】 （华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛模拟题）某社区为迎奥运会举行徒步比赛。甲、乙、丙三名运动员同时从同一个出发点起步后不间断地匀速步行，每分钟乙比甲少走15米，而比丙多走3米。当乙到达赛程中点折返处时，比甲晚到4分钟，而比丙早到1分钟。这次徒步比赛全程多少米？【例5】 (2006年小学数学ABC精选题) 如右图所示，甲、乙、丙分别从A，B，C点同时出发，并且同时到达B，C，A点。如果ABC的周长是460米，甲、乙、丙绕行一周的时间分别是8，9，12分钟，那么BC长多少米?钟面问题追及关系：【例6】 （奥数研究中心）某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元。如果一个工人照此钟工作小时，那么他实际上应得工资多少元？相遇关系：【例7】 （奥数研究中心）小明在1点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到两点钟，但此时的时针和分针与开始做题时正好交换了位置，你知道小明做题时用了多长时间吗？时间校准：【例9】（2006年北京市“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组初试）一个挂钟每天慢30秒。一个人在3月23日12时校正了挂钟，到4月2日14时至15时之间，挂钟的时针与分针重合在一起时，标准时间应该是4月2日 时 分 秒（精确到秒）真题实战1（2006年小学数学ABC精选题）小光和小华同时从甲乙两村相对出发，小光每分钟走80米，下华每分钟走75米，两人在距中点10米处相遇，则甲乙两村相距（ ）米。 A 620 B 310 C 155 D 6002（2006年“我爱数学少年夏令营”）某小组在下午6点开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时手表的分针和时针垂直。下午7点之前会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了 分钟。3（2006年香港“华罗庚”杯数学邀请赛初赛）甲、乙、丙三人以不变的速度从A地向B地出发，已知乙比丙迟了10分钟出发， 出发后20分钟乙追上丙。甲比乙迟了10分钟出发，出发后30分钟甲追上乙。问甲出发后多久便可以追上丙。4（江苏省吴江市2005年小学数学联赛）甲、乙两人从A村，丙从B村同时相向而行，甲每分行70米，乙每分行60米，丙每分行75米，丙遇到甲后8分钟，与乙相遇，A，B两村的路程有多少米？5（2004年小学数学ABC第一套C卷）一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20，可以提前1小时到达。如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30，也可以提前l小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几?数学语絮兴趣是最好的老师爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师”（高尔基好象也这样说）；杨振宁先生说:“成功的真正秘诀是兴趣。”每位同学可能对此深有同感，说明大家都有伟人潜质，而这么多未来伟人都能这样想，看来“兴趣是最好的老师”这样的意思不会错。我们关心的是，我在学奥数，也想请来兴趣这样的老师，如何做到呢？很简单的，这里支你三招：第一招：心中默念一百遍“数学是好玩的”；第二招：心中再想一百道“好玩”的数学题；第三招：梦中再说一句关于奥数的梦话，这样的情形很好玩；这几招好像有点离谱，其实大有深意。第一点，心里暗示在起作用，我要真正想对数学感兴趣，这很重要。有的同学可能会说，应该是在老师引导和激发下，才能对奥数感兴趣吧？没错，老师在培养同学们的兴趣方面功不可没，但前提是每个同学要做好接纳奥数的思想准备，要主动地迎向奥数，拥抱奥数，终会喜欢奥数。第二点，如果有同学能在心中想到一百道“好玩”的奥数题，恭喜你，你一定是奥数“骨灰级”粉丝；更要恭喜你，你将做任何奥数题，都会所向披靡；更重要的是，如果正巧有一道题你做的有点不爽，那么你将如获至宝；如果你现在还没攒够一百道有趣的奥数题，那么，快点行动起来！第三点，更厉害的一招，只要你能在梦中做出一道最简单的奥数题，或者哪怕只是轻轻地梦呓奥数的好玩与美丽，那么我可以大胆地向你保证，你将在数学方面突飞猛进，一路高歌。这些话并不唯心，因为我们在老师的指引下，可以真正做到，可以逐步体会到奥数的美：挑战并战胜困难，很了不起吧；看似“巨难”，其实是纸老虎，很好笑吧；峰回路转，好像走过迷宫，