上海高考数学模拟分类汇编第3部分数列

09届上海市期末模拟试题分类汇编第3部分数列一.选择题1（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研15）已知数列的前项和是实数)，下列结论正确的是 （ ）A为任意实数，均是等比数列 B当且仅当时，是等比数列C当且仅当时，是等比数列 D当且仅当时，是等比数列答案：B 1（嘉定区20082009第一次质量调研第15题）在实数数列中，已知，则的最大值为（ ）A B C D答案：C2（南汇区2008学年度第一学期期末理科第14题）已知数列的通项为，下列表述正确的是（ ）A. 最大项为0，最小项为 B. 最大项为0，最小项不存在 C. 最大项不存在，最小项为 D. 最大项为0，最小项为答案：A二.填空题1.（08年上海市部分重点中学高三联考3）在等差数列中，则_答案：3 2. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷4）是等差数列，则数列的前项和_.答案：18 3. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷7）数列中，则通项_.答案： 4. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷12） 正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有_个.答案：5（上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研7）等比数列的公比为，前项和为满足，那么的值为_答案： 6（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试11）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成1，等等）. 那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间上（除两个端点外）的点， 在第次操作完成后（），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .答案：；为中的所有奇数. 7（上海市2009届高三年级十四校联考数学理科卷15）若数列为（ ）A递增数列B递减数列C从某项后为递减D从某项后为递增答案：D 8（上海市高考模拟试题12）对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 .答案：9（上海市奉贤区2008年高三数学联考6）等差数列的公差不为零，. 若成等比数列，则_.答案：2n 1（嘉定区20082009第一次质量调研第10题）已知无穷等比数列的前项和满足，则该数列所有项的和为_答案：2（嘉定区20082009第一次质量调研第12题）设，是各项不为零的（）项等差数列，且公差若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为_答案：3（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第1题）2008已知为等差数列，则_.答案： 4 (2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第8题)设等差数列的前n项和为. 若，且，则正整数 . 答案：45 （闸北区09届高三数学（理）第9题） 已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为则数列的前28项的和答案：820； 6 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第8题） (理)已知等差数列的首项，设为的前项和，且，则当取得最大值时，_.答案：7 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第8题）(文)已知数列的通项公式为，设为的前项和，则_.答案：8 （闵行区2008学年第一学期高三质量监控理卷第2题）在等比数列中，则公比为 . 答案：9 （闵行区2008学年第一学期高三质量监控理卷第9题）已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是 . 答案：10 （浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第3题）用数学归纳法证明等式：（，），验证 时，等式左边= 答案：11 （浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第5题）等差数列中，公差，则= 答案：8012. (上海市青浦区2008学年高三年级第一次质量调研第12题) 把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如上图所示的数表， 第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为，则这个数可记为A(_).答案：三.解答题1（嘉定区20082009第一次质量调研第21题）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分 设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项（1）求数列的通项公式； （2）在集合，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由； （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值答案：解：（1）由题意得， ， 当时，解得，（1分）当时，有 ，式减去式得，于是，（2分）因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，（3分）所以的通项公式为（）（4分）（2）设存在满足条件的正整数，则，（6分）又，所以，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列（8分）设共有个满足条件的正整数，则，解得（10分）所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为（12分）（3）设，即，（15分），则，其极限存在，且（18分）注：（为非零常数），（为非零常数），（为非零常数，）等都能使存在按学生给出的答案酌情给分，写出数列正确通项公式的得3分，求出极限再得3分2 （上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第20题）（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.观察数列：；正整数依次被4除所得余数构成的数列；(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果_，对于一切正整数都满足_成立，则称数列是以为周期的周期数列；(2)若数列满足为的前项和，且，证明为周期数列，并求； (3)若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论.答案：解：(1) 存在正整数； (2)证明：由 所以数列是以为周期的周期数列 由 于是 又， 所以， (3)当=0时，是周期数列，因为此时为常数列，所以对任意给定的正整数及任意正整数，都有，符合周期数列的定义. 当时，是递增数列，不是周期数列. 下面用数学归纳法进行证明： 当时，因为所以，且所以假设当n=k时，结论成立，即， 则即 所以当n=k+1时，结论也成立. 根据、可知，是递增数列，不是周期数列.3 (2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第20题)（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列的首项、公比均为.（1）试求无穷等比子数列（）各项的和；（2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】答案：解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为： ； （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，则，即 而 则 .所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，其通项公式为，.解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为.由 又若，则对每一都有 从、得；则；因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，.479107910（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：问题一：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则，因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则 若且，则，矛盾；若且，则，矛盾；故必有且，不妨设，则 1当时，等式左边是偶数，右边是奇数，矛盾；2当时，或 ，两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾；综合可得，不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等。【以上解答属于层级4，可得设计分5分，解答分7分】问题三：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.解：假设存在满足条件的原数列的两个不同的无穷等比子数列。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则，显然当时，上述等式成立。例如取，得：第一个子数列：，各项和；第二个子数列：，各项和，有，因而存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍。【以上解答属层级3，可得设计分4分，解答分6分.若进一步分析完备性，可提高一个层级评分】问题四：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由. 解（略）：存在。问题五：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由. 解（略）：不存在.【以上问题四、问题五等都属于层级4的问题设计，可得设计分5分。解答分最高7分】4 （闸北区09届高三数学（理）第17题）(本小题满分20分)已知数列和满足：, 其中为实数，为正整数（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）对于给定的实数，试求数列的前项和；（）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由答案：解：（）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，.1分则有,即矛盾. 4分所以不是等比数列. .1分()解：因为.3分又，所以当，此时1分当时， ，此时，数列是以为首项，为公比的等比数列. 1分2分()要使对任意正整数成立，即 当为正奇数时，的最大值为, 的最小值为,3分于是，由（1）式得当时，由，不存在实数满足题目要求；1分当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是.1分5 （上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第20题）已知各项为正数的等比数列的公比为，有如下真命题：若，则(其中为正整数).(1)若，试探究与之间有何等量关系，并给予证明；(2)对(1)中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明.答案：(1)因为，所以，又 即 (2)以下列出推广命题的评分建议：命题证明部分的得分，不得超过推广部分的得分. 对于命题仅作形式上的变化(或者不是对(1)的推广)，不得分. 如：若则； 第一层次：(仅对题目所列进行简单总结或结构简单变化) 1分 如：若，则； 若，则；若，则. 以下两个层次，可以根据学生的实际答题情况再作划分. 第二层次：(对于确定项数(至少三项)给出一般性结论或部分推广常数)3分 如：若，则； 若，则；若互素)，则 第三层次：(进行一般化推广) 5分 若是公比为的等比数列的任意项，则存在以下真命题：若，则有 成立.若互素)，则有 成立.6 （南汇区2008学年度第一学期期末理科第20题）(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有且，则称为数列的“上渐进值”，令，求数列的“上渐进值”。答案：解：（1）由已知，得， 4分 （2）由得则，即，于是有，并且有，即，而是正整数，则对任意都有，数列是等差数列，其通项公式是。10分（3）；由是正整数可得，并且有， 数列的“上渐进值”等于3。18分7. （浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第21题）（满分20分）本题共有4小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满 分5分，第4小题满分6分对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”（1）若，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”；（3）若数列满足，为常数求数列前项的和并判断是否为“M类数列”，说明理由；（4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列的相邻两项、，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假答案： 解（1）因为则有故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为 2分因为，则有 故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为 4分（2）证明：若数列是“M类数列”， 则存在实常数，使得对于任意都成立，且有对于任意都成立， 6分因此对于任意都成立，故数列也是“M类数列” 8分 对应的实常数分别为 9分（3）因为 则有， ， 故数列前项的和+ 11分若数列是“M类数列”， 则存在实常数使得对于任意都成立，且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，而，且则有对于任意都成立，可以得到，（1）当时，经检验满足条件。（2）当 时，经检验满足条件。因此当且仅当或，时，数列也是“M类数列”。 对应的实常数分别为, 或 14分（4）命题一：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”逆命题：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”当且仅当数列是常数列、等比数列时，逆命题是正确的命题二：若数列是等比数列，则数列、 是“M类数列”逆命题：若数列、是“M类数列” 则数列 是等比数列逆命题是正确的命题三：若数列是“M类数列”， 则有或逆命题：若或，则数列是“M类数列” 若，当且仅当时逆命题是正确的 若，当且仅当时逆命题是正确的（命题给出2分，逆命题写出2分，说明逆命题真假2分）8. (上海市青浦区2008学年高三年级第一次质量调研第21题)（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分,第3小题满分6分.已知,若成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设是不等式整数解的个数，求；(3)在(2)的条件下，试求一个数列，使得.答案：解：(1) 即 (2)， ， 得，即 则 (3)， 取，则 1.（上海市奉贤区2008年高三数学联考20）（本题满分18分.第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.）我们规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使得，则称数可以表示成进制形式，简记为：。如：，则表示A是一个2进制形式的数，且5.（1）已知（其中，试将m表示成进制的简记形式.（2）若数列满足，是否存在实常数p和q，对于任意的，总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由.（3）若常数满足且，求.1.解：（1） (1分)则 (3分)（2） ()，知是周期为3的数列 (6分)假设存在实常数p和q，对于任意的，总成立，则： .即存在实常数，对于任意的，总成立 (10分)（3） (14分) ，即 (18分)2.（上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研21）（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分5分,第3小题满分9分.已知数列满足为常数，设.(1)求数列所满足的递推公式；(2)求常数使得对一切恒成立；(3)求数列通项公式，并讨论：是否存在常数，使得数列为递增数列？若存在，求出所有这样的常数；若不存在，说明理由.2. (1) ,又 . 数列的递推公式是. (2) 又由(1)可知， ，解之，得， (3)由(2)知，数列是首项为公比为的等比数列. 为所求的通项公式. 考察数列， 1O.当，即时，此时数列是递增数列. 2O.当，即时，是正负相间出现，其绝对值是正常数，而. 故当n充分大时，的值的符号与的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，故数列不可能是单调数列. 综上所述，当且仅当时，数列是递增数列.3.（上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研21）（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图是一个具有行列的数表，第一行是首项为，公比为的等比数列，第一列是首项为，公差为的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设表示第行第列的数.1qq2qn-11+d1+2d1+(n-1)d (1)求的表达式；(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出满足的条件；若不能，请说明理由.(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).3. () ()若成等比数列，则成等比数列， ，整理，得此时， ，成等比数列，此时， ()(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)问题：第2行能否成等差数列？研究：若成等差数列，则成等差数列， 解得，此时，=， ，成等差数列，此时， 问题：第2列能否成等差数列？研究略. 问题：第2列能否成等比数列？ 问题：第3行能否成等差数列？ 4（上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研20）（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知二次函数对任意满足，且图像经过点及坐标原点.（1）求函数的解析式；（2）设数列前项和，求数列的通项公式；(3）对(2)中，设为数列前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.4.() () () 设存在满足条件的. 当，解得. 当,解得. 猜想：. 下面用数学归纳法证明： 证明：(1)当时，由上述可知，结论成立， (2)假设当时，结论成立，即成立， 则时，左边= 即时，结论也成立. 根据(1)(2)可知，对时，结论成立. 因此，存在满足条件.5（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分函数是这样定义的：对于任意整数，当实数满足不等式时，有（1）求函数的定义域，并画出它在上的图像；（2）若数列，记，求；（3）若等比数列的首项是，公比为，又求公比的取值范围 5. (1)函数的定义域是 图像如图所示， (2)由于所以 因此， (3)由得 当时，则，所以， 则不合题意； 当时，则，所以 只可能是即解之得.6. （上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷19）（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分.已知：.若数列使得成等差数列.(1)求数列的通项；(2)设，若的前项和为，求.6.解:(1) (2) ，-，整理，得7（上海市高考模拟试题21）已知数列有，（常数），对任意的正整数，并有满足。 （1）求的值； （2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； （3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有，且，则称为数列的“上渐近值”，令，求数列的“上渐近值”。7解：（1），即 （2） 是一个以为首项，为公差的等差数列。 （3）， 又，数列的“上渐近值”为。8（上海市2009届高三年级十四校联考数学理科卷21）（本题满分20分）本题共4小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，第4小题4分。设数列的图象上。 （1）求的表达式； （2）设使得不等式 都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）将数列依次按1项，2项循环地分为，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为的值； （4）如果将数列依次按1项，2项，3项，项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，提出同（3）类似的问题（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？8. 解：（1） 1分 （2） 设 故 要使不等式10分 （3）数列依次按1项， 2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），每一次循环记为一组。由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和。 由分组规律知，的等差数列。 13分所以 14分（4）当n是m的整数倍时，求的值。数列依次按1项、2项、3项，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），第m组，第2m组，第组的第1个 数，第2个数，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为