一线名师指点高考数学同步辅导第18讲数列的求和

一线名师指点07年高考数学同步辅导第18讲数列的求和【考点回放】1等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式2等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=3拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5分裂项法求和，如an=1/n(n+1) （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6反序相加法求和，如an=7求数列an的最大、最小项的方法：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=【考点解析】1. 若数列的前项和为，求，是否是等差数列？解析: ,当时,当时,数列不是等差数列,从第2项起是等差数列.点评:非常数等差数列的前n项和是关于n的二次函数,且常数项为0.2.已知数列的前项和满足，求，并判断是什么数列？解析: ,即当时,当时,又,数列是首项为4,公比为5的等比数列.3.已知数列满足，求解析: ,当n=1时, ,当时, ,由和两式相减得,数列是以为首项,为公比和等差数列.，是以为首项,为公比和等差数列.点评:若是等比数列,则其子数列也是等比数列(其中是等差数列).4.已知数列的前项和为，且，求证数列是等比数列,并写出其通项公式.解析:,两式相减得,即,即数列是等比数列.,解得,数列是以3为首项,2为公比的等比数列.即点评:本题是采用换元的方法,需要有整体的意识.5（2001年高考）某地投入资金进行生态环境建设并以此发展旅游事业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4. 设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入bn万元. 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解析:应用问题建模化归为直用公式求和构建不等式求解.依题设知，总投入和旅游业总收入分别为两个等比数列的和，直用公式构建不等式求解. 由题设可知，an=800+800(1-1/5)+800(1-1/5)n-1=4000,bn=400+4005/4+400(5/4)n-1=1600; 由题设设至少经过n年旅游业总收入超过总投入，则 bn-an0. 化简，1600400,即 5(+2(-70,换元解得n.6求数列 1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,(a0)的前n项和Sn.解析:整体把握，所求数列的每一项都是一等比数的和，其第k项 ak=ak-1+ak+ak+1+a2k-2.当|a|0时，ak=(ak-1-a2k-1),Sn=(1-a)+(a-a3)+(a2-a5)+(an-1-a2n-1)=（1-an）（1-an+1）;当a=1时,易得Sn=;当a=-1时,易得Sn= .7. 函数f(x)对任意x1,x2R,当x1+x2=1时,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n),求an.解析:依据对应法则和所求值的结构特征，创造用对应法则，整体把握用等差数列前n项和公式推导方法“反序求和”,由an=0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n) an= f(n-1/n)+f(n-2/n)+ +f(1/n)+0，相加用对应法则有2an=f(1/n)+f(n-1/n)+f(2/n)+f(n-2/n)+f(n-1/n)+f(1/n)=n-1,故an=(n-1)/2.8. 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,且a1,a2,a3,an组成一个数列，n为自然数，且有f(1)=n2, 试证明 0f(1/3)1+2n1+n,所以0(n+1)/3n1，故 0f(1/3)1.9. 函数f(x)满足对任意x,y都有f(x)+f(y)=f()，且当x0，求证f()+f()+f() f().解析:依据对应法则的结构特征，整体把握不等式左端数列和，从通项入手，逆用法则裂项相消法求和解决.赋值易知f(x)奇函数，且当x0时，都有f(x)0, 恒有f() f().故所证不等式成立.10设等差数列的项数为奇数，求奇数项之和与偶数项之和的比值.解析:本题解法很多.现整体把握奇数项之和与偶数之和，构建方程组求解.设S奇，S偶 分别为奇数项之和与偶数项之和，则 S奇+S偶=Sn=nak, S奇-S偶=ak,其中k=,解方程组有，S奇=,S偶=则 S奇：S偶=11.设正数列ab的前项和Sn，且Sn=,试求数列an的通项公式an.解析:：由一般数列的切入点，可构建关于Sn的方程解出Sn，从而求其通项公式an.由题设和数列的切入点,Sn= (an+)=(Sn-Sn-1+,化简为 Sn2-Sn-12=2 (n.即Sn2为等差数列，易求Sn2=S22+(n-2)=n(n).故 a1=1;当n时,an=.12.数列an的相邻两项an,an+1是方程x2-cnx+(的两根，又a1=2，求无穷数列c1,c2,cn各项和.解析:整体把握an间隔成等比数列，“挑项求和”. 由题设，cn=an+an+1, anan+1=(,则.故a2n-1是2为首项，公比的等比数列；a2n是为首项，公比的等比数列.S=c1+c2+cn+=a1+a2+a2+a3+a3+an+1+=2(a1+a2+a3+an+)-a1=2.13（2006北京卷）设，则等于（A） （B） （C）（D）解析:依题意为首项为2，公比为8的前n4项求和，根据等比数列的求和公式可得D.14（2006天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100解析:数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于=， =，选C.15（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 解析:10，16（2006湖南卷） 若数列满足：，2，3.则. 解析:数列满足：，2，3，该数列为公比为2的等比数列， .【考点演练】考点1、等差、等比公式求和1在等差数列an中，它的前n项和为Sn，已知 . 182等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（ ）AB12CD63等比数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 4、等差数列an中,若a1+a4+a7=39, a3+a6+a 9=27, 则前9项的和S9= ( )A 66 B 99 C 144 D 2975数列an的前n项和Sn=n2+2n1，则这个数列一定是B（ ）A等差数列B非等差数列C常数数列D等差数列或常数数列考点2、分项求和1、5，55，555，5555，；解：2、求和：；， 原式考点3、错位减法求和1、已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(nN,n1)(1)求a1,a2 (2)求数列an的通项公式 (3)bn=n,令Cn=bnan ,求数列Cn的前n项和 解：（1）由 4分（2） 是首项公比均为的等比数列 8分（3）设前n项的和Tn，：14分考点4、裂项求和1数列的前n项之和为 2若的前n项和是（ ）ABCD3设，则n的值为（ ）A9B8C7D64、= A B C D 考点5、叠加法、叠乘法1、已知数列 (1) 求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和解：或者用累乘得2、数列的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n为（）A11B99C120D121考点6、倒序求和1、设， 又， ，【题型讲解】例1 （分情况讨论）求和：解：当a=0或b=0时，当a=b时，；当ab时，例2（分部求和法）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由则例3（分部求和法）求数列1，3，32，3n的各项的和解：其和为：(133n)()=(3n1-3-n)例4（裂项求和法）解：， 例5（裂项求和法）已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：解：首先考虑则=点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法例6（错位相减法）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和解：若a=0时，Sn=0 若a=1，则Sn=1+2+3+n= 若a1，a0时，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=例7（错位相减法）已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和解：-得：点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列 的前项和求解，均可用错位相减法例8（组合化归法）求和：解：而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项展开为n的多项式，再用分部求和法例9（逆序相加法）设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立例10（递推法）已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和解：由题意： 点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法例11 数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，（2）若，时，故 （3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题例12 已知函数,数列an满足a1 = 1,an+1 = f(an) (nN*)() 求数列an的通项公式;() 记Sn = a1a2 +a2a3+anan+1 , 求Sn并求解: () 由 得 3anan+1 +an+1 = an ,从而 ,即 ,数列是以为首项3为公差的等差数列 , () 设bn = anan+1 ,则 , , l 小结： 1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础 3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法【基础演练】1设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN，都有，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是( )A43 B32 C74 D78712一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（）A5 B6 C7 D83若数列中，且 ，则数列的通项 4设在等比数列中，求及5根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式6数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式7某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为 求证（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？8 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数) ()设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式()依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不不进行技术改造的累计纯利润？参考答案:1解：设这两个等差数列分别为an和bn故选择A说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系2解：依题意知数列单调递减，公差d0因为S3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以a4+a5+a10+a11=0即a4+a11=a7+a8=0，故当n=7时，a70，a80选择C3解：多次运用迭代，可得4解：，又，由以上二式得或；由此得或5解：（1）， （2） =又解：由题意，对一切自然数成立，（3）是首项为公比为的等比数列，说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法6解：由可得当时， ，是公比为的等比数列又当时，说明：本例复习由有关与递推式求，关键是利用与的关系进行转化7（1）证明：由已知可得确定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若则有即两边同时取对数可得故，故使得上式成立的最小为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%8 ()依题意，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2Bn=500-60=500n-100 () Bn- An=(500n-100)-(490n-10n2)=10n2+10n-100 =10因为函数y=x(x+1)- -10在(0，+)上为增函数当1n3时，n(n+1)- -1012-100当n4时，n(n+1)- -1020-100仅当n4时，BnAn【实战演练】1等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则 （ ）A B C D2设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项的和,若Sn是等差数列,则公比q= 13数列的前n项和为Sn，若，则这个数列一定是（ ）A等比数列B等差数列C从第二项起是等比数列D从第二项起是等差数列4已知Sn是等差数列an的前n项和，若S6=36，Sn=324，Sn6=144（n6），则n等于（ ）A15B16C17D185 数列1,(1+2),(1+2+22),( 1+2+22+2n-1+)的前n项和是 ( )A 2n B 2n-2 C 2n+1- n -2 D n2n 6 已知等差数列， (1) 求的通项公式；(2) 令，求数列的前n项和Sn.解：(1) 设数列的公差为d，依题意得方程组 解得 所以的通项公式为(2) 由所以是首项，公式的等比数列.于是得的前n项和 7 把正奇数数列2n1中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 1