高中数学 第2章2.3.2知能优化训练 苏教选修21

1(2011年高考湖南卷改编)设双曲线1(a0)的渐近线方程3x2y0，则a的值为_解析：渐近线方程可化为yx.双曲线的焦点在x轴上，()2，解得a2，由题意知a0，a2.答案：22若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于_解析：由1可知b，而e2，所以a234a2，故a1.答案：13双曲线1的焦点到渐近线的距离为_解析：双曲线1的焦点(4,0)到渐近线yx的距离为d2.答案：24双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_解析：由e及c2a2b2得e，故当双曲线焦点在x轴上时，e.当双曲线焦点在y轴上时，e.答案：或一、填空题1(2011年高考北京卷)已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.解析：双曲线的焦点在x轴上，2，4.a21，b24.又b0，b2.答案：22若双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于_解析：双曲线的方程可化为y21，则a21，b2.由已知得b2a，解得m.答案：3与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_解析：依题意设双曲线的方程为x2(0)，将点(2,2)代入求得3，所以所求双曲线的标准方程为1.答案：14如图所示，F1和F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为_解析：|AF2|F1F2|sin60c，|AF1|F1F2|sin30c.由双曲线的定义得|AF2|AF1|2a.即2a(1)c，e1.答案：15已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是_解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.答案：6过点P(3,0)的直线l与双曲线4x29y236只有一个公共点，则这样的直线l共有_条解析：已知双曲线方程为1，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)答案：37已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为_解析：由|PF1|PF2|2a及|PF1|4|PF2|得：|PF2|，又|PF2ca，所以ca，c，e，即e的最大值为.答案：8设一个圆的圆心在双曲线1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是_解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y04.代入双曲线方程得1，所以x，故|PO|.答案：二、解答题9如图所示，已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程解：在RtF1F2P中，PF1F230，|PF1|2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a.|F1F2|PF2|，即2c2a，c23a2.又c2a2b2，2a2b2.故所求双曲线的渐近线方程为yx.10如图，已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1与双曲线的交点P满足3，试求双曲线的离心率解：连结PF2，设|F1F2|2c，由3知|PF1|MF1|.又MF1F2为正三角形，|PF1|2cc，PF1F260，由余弦定理可得：|PF2|c.根据双曲线定义有2a|PF2|PF1|c，离心率e.11已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得a，c2.又a2b2c2，b21.双曲线C的方程为y21.(2)由题意得整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线C有两个不同的交点，解得m23k21.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中