六年级奥林匹克数学讲义三 新定义与新运算（二）

三、新定义与新运算（二） 1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= .2.如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a= . 3.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= . 4.已知a,b是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1,那么 .5.x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么+的值是 . 6.如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x= . 7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= .8.我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号表示选择两数中较小数的运算,例如:53=35=3.请计算: . 9.规定一种新运算“”: ab=.如果(x3)4=421200,那么x= .10.对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 .11.设a,b为自然数,定义ab. (1)计算(43)+(85)的值;(2)计算(23)4;(3)计算(25)(34).12.设a,b为自然数,定义ab如下:如果ab,定义ab=a-b,如果ab,则定义ab= b- a.(1)计算:(34)9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc). 13.设a,b是两个非零的数,定义ab.(1)计算(23)4与2(34). (2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值.14.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=70-2=68.(1)求1221,515;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值. 三、新定义与新运算（二） (答案）第1道题答案： 100.因为23=(3+2)3=15,所以(23)5=155=(5+15)5=100.第2道题答案： 8. 依题意,得,解得.第3道题答案： 42.1812=(18,12)+18,12=6+36=42.第4道题答案： 98. 原式 第5道题答案： 11.为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,所以原式=+=11.第6道题答案： 6.x5-5x=(3 x-25)-(35-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.第7道题答案： 45678.第8道题答案： .因为,0.625,所以,原式.第9道题答案： 2.令x3=y,则y4=421200,又421200,所以y=24,即x3=24.又24=,故x=2.第10道题答案： 4. 由题设的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.第11道题答案： (1)原式; (2)原式4=74=; (3)原式13 .第12道题答案： (1)原式=(4-3)9=19=9-1=8; (2)因为表示ab表示较大数与较小数的差,显然ab= ba成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(34)9=8,而3(49)=3(9-4)=35=5-3=2.第13道题答案： (1)按照定义有23,34. 于是(23)44=. 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,则2,从而与矛盾.因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求.第14道题答案： (1)为求1221,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此1221=84-3=81,同样道理515=15-5=10. (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除ab. 如果c整除a和ab,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除ab推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b. (3)由于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为6与x的最小公倍数不小于27+1=2