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文档简介
数与形教材说明和教学建议(一)教学目标1使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律,并会应用所发现的规律。2使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。3使学生在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。(二)内容安排及其特点1教学内容和作用。数形结合是一种非常重要的数学思想,把数与形结合起来解决问题,可使复杂的问题变得更简单,使抽象的问题变得更直观。数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是。有的时候,是图形中隐含着数的规律,可利用数的规律来解决图形的问题。有的时候,是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实,让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高,经常需要借助直观模型来帮助理解。例如,利用长方形模型来教学分数乘法的算理,利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理,利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等(如下图)。还有的时候,数与形密不可分,可用“数”来解决“形”的问题,也可用“形”来解决“数”的问题。例如,解析几何及微积分中,曲线与方程、方程组及函数与图象互为工具,互为解释,有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。本单元中,教材以“1357(2n1)n”,和“”为例,引导学生认识利用数与形的结合,可以解决一些有趣的数学问题。具体编排结构如下。从上表可以看出,本单元的教学内容分为两个层次。一是使学生通过数与形的对照,利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如,例1中,从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如,例2中,解决的求和问题,教材利用分数意义的直观模型,使学生直观地理解“无限”的抽象概念;再如,练习二十二第6题,通过画示意图的方式可以比较便捷地解决比较抽象的问题。2教材编排特点。本单元教材在编排上有下面几个特点。(1)突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形,都突出对其规律的探索。例如,通过观察和计算1、13、135、1357既能发现加数的规律(从1开始的连续奇数相加),又能发现和的规律(都是连续的正方形数);通过观察和计算、,同样,既能发现加数的规律,又能发现和的规律。在发现规律的基础上,通过推理,再引导学生把规律应用于一般的情形,解决问题。(2)在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验,培养基本的数学思想。例如,在例2中,让学生通过计算,发现和越来越趋向于1,感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果,但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽的”类推,使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。(三)教学建议1引导学生数形结合,相互印证。形的问题中包含着数的规律,数的问题也可以用形来帮助解决,教学时,要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发,让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律,也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系,互相印证结果,感受数学的魅力。例如,在例1中可以先让学生计算135的得数,使学生发现得到的和都是“平方数”,再通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。也就是说,如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形可以共同拼出一些大小不一的大正方形图。也可以有规律地呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图,让学生看看前后两个大正方形图相差多少个小正方形,例如,边长是2的大正方形和边长是1的大正方形,相差的是3个小正方形;边长是3的大正方形和边长是2的大正方形,相差的是5个小正方形相差的小正方形数正好是“1”形中的小正方形数。因此,每个大正方形图中都隐藏着一个算式,即1357(2n1)n。2使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。图形的直观、形象的特点,决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如,例2中,用举例的方法求出等比数列的有限和,都不能证明无限多项相加的结果为1。但是如果用圆或线段的图形加以说明,学生则比较容易理解当一个数无限趋近于1时,其结果就是1。一个极其抽象的极限问题,由于用图形来解决,就变得十分直观和便捷了。3引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。小学阶段,虽然不要求写出一个数列的通式,但可以通过数形结合的方法,利用图形的规律,从不同的角度,用自己的语言描述出数列的通用模式。例如,第109页第1题,根据例1的结论,很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为: (2nl) (2nl),也可以从结果看到第一个图最外圈有8个小正方形,第二个图最外圈有82个小正方形,第三个图最外圈有83个小正方形通过推理,可知第行
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