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文档简介
数学归纳法及其应用举例(二)教学目的:1. 进一步理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式;理解为证n=k+1成立,必须用n=k成立的假设;掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧 2. 掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质;培养学生对于数学内在美的感悟能力教学重点:使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤教学难点:如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:一、复习引入: 1. 归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:特殊一般2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(kn0,kN*)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:(1)证明:当n取第一个值n0结论正确;(2)假设当n=k(kN*,且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确二、讲解范例:例1用数学归纳法证明 例2用数学归纳法证明三、课堂练习:1.用数学归纳法证明:证明:(1)当,左边=1,右边=1,等式成立.(2)假设当时,等式成立,就是那么 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何的都成立.2.用数学归纳法证明当时,左边应为_.3.判断下列推证是否正确,并指出原因.用数学归纳法证明:证明:假设时,等式成立就是 成立那么 =这就是说当时等式成立,所以时等式成立.4判断下列推证是否正确,若是不对,如何改正.证明:当n=1时,左边右边,等式成立设n=k时,有 那么,当n=k+1时,有即n=k+1时,命题成立根据问可知,对nN,等式成立四、小结 :用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:明确首取值n0并验证真假(必不可少).“假设n=k时命题正确”并写出命题形式分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 五、课后作业:1. 是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立并证明你的结论2.(年全国理科高考题)是
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