十章7课随堂课时训练

1(2010年北京西城调研)下列命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，a与共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直A1 B2C3 D4解析：选C.中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知正确，故选C.2已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析：选A.n(6，3,6)是平面的法向量，n，在选项A中，(1,4,1)，n0.3正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A75B60C45 D30解析：选C.如图，四棱锥PABCD中，过P作PO平面ABCD于O，连结AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影，PAO即为所求线面角，AO，PA1，cosPAO.PAO45，即所求线面角为45.4.如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为、，则等于()A120 B60C75 D90解析：选D.建立坐标系如图，B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)则(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，cos，cos，cos，cos，sin，90，故选D.5若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()A. B.C. D.解析：选B.以正三棱锥OABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB的法向量为(0,0,1)，底面ABC的法向量为n(，)，cos， n.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建系(图略)，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即CEBD.7正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n， n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：308如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值等于_解析：以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.答案：19.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，则二面角C1ABC的余弦值为_解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，(0,1,2)，(，0)设n(x，y，z)为平面ABC1的法向量则取n(，2，1)，取m(0,0,1)，作为平面ABC的法向量则cosm，n.二面角C1ABC的余弦值为.答案：10如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角FDEC的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)(1)(1,0,2)易得平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设与n的夹角为，则cos，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)(1,0,2)，(0,2,2)设平面DEF的一个法向量为m，则m0，m0，可得m(2，1,1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值为.11正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点(1)求正三棱柱ABCA1B1C1的体积；(2)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；(3)当BC1B1P时，求二面角CB1PC1的余弦值解：(1)VABCA1B1C1SABCAA12222.(2)不垂直建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设APa，则A，C，B1，P的坐标分别为(0，1,0)，(0,1,0)，(，0,2)，(0，1，a)，(0,2,0)，(，1，a2)，20，B1P不垂直AC，直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直(3)(，1,2)，由BC1B1P，得0，即22(a2)0，a1.又BC1B1C，BC1平面CB1P，(，1,2)是平面CB1P的法向量设平面C1B1P的法向量为n(1，y，z)，由，则n(1，2)设二面角CB1PC1的大小为，则cos，二面角CB1PC1的余弦值的大小为.12如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45？解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，)，D(，0,0)