向量的线性运算知识精讲人教实验B

向量的线性运算知识精讲一. 本周教学内容： 2.1 向量的线性运算教学目的 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 2. 掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 3. 掌握向量数乘的运算并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件。 4. 了解向量的线性运算性质及其几何意义。二. 重点、难点： 1. 重点： 向量的概念，相等向量的概念，向量的表示；向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法法则的运用；数乘向量的定义、运算律；平行向量基本定理。 2. 难点： 对向量概念的理解；对向量加法定义的理解；对向量减法定义的理解；正确地运用法则、运算律，进行向量的线性运算；平行向量基本定理的应用。知识分析 向量是数学中重要的、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此是集数形于一身的数学概念是数学中数形结合思想的体现。向量是重要的物理模型，在现实生活中有广泛的应用。与时俱进地审视，它应该成为高中数学的基础知识。把向量这一章放在三角函数和三角恒等变换之间，一方面是学习向量需要三角函数作准备，另一方面是为了利用向量的数量积推导两角差的余弦公式。 本节内容主要是向量的线性运算，教材通过学生熟悉的位移引入向量的概念，并用有向线段来描述向量，通过例题说明向量源于实际并应用于实际。在此基础上，教材接着讲了向量加法、减法、数乘向量的运算法则、几何意义、运算律，向量共线的条件与轴上向量的坐标运算。 1. 向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量。注意数量与向量的区别。在现实生活和科学实验中，常常会遇到两类量，其中一类量是只有大小而没有方向，如长度、质量、面积、体积等，这类量叫做数量，它是一个代数量，可进行代数运算；另一类量是既有大小又有方向，如物理学中的位移、速度、力、加速度等，这类量叫做向量，向量不能比较大小。 2. 用有向线段表示向量在画图时，向量一般用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。注意：用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。 3. 向量的表示方法向量可以用有向线段来表示，也可以用字母表示（注意印刷体和书写体不一样），或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，在建立坐标系后，还可以用坐标表示向量（后面将学到）。 4. 向量不能比较大小，向量的模可以比较大小所谓向量的大小，就是向量的长度（或称模），记作或者。因为向量不同于数量，数量之间可以比较大小，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此，“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。向量的模（是正数或零）可以比较大小。 5. 零向量长度为零的向量叫做零向量，记作。零向量的方向不确定，是任意的。由于零向量是特殊的向量，方向可看作是任意的，所以规定零向量与任意方向的向量平行。今后学习时要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”。 6. 平行向量，共线向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行。如果、是方向相同或相反的向量，则。平行向量也叫做共线向量。任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量是平行向量。注意：共线向量也就是平行向量。要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义。实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等。这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量。 7. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量与向量相等，记作。零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。注意：（1）两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等。例如，就意味着，且与的方向相同。（2）由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点。由此可知，任意一组平行向量都可以移到同一条直线上。（3）将一个向量按照某一方向平移后，所得向量与原向量仍是相等向量。 8. 向量的加法概念已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即，如图所示。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。对于零向量与任一向量，有。 9. 向量求和的三角形法则根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则。使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。例：设，则 10. 向量求和的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线所在向量就是这两个已知向量的和。以点A为起点作向量，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线所在向量就是与的和，记作，如图所示。 11. 向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量。这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图所示，已知向量，在平面上任选一点O，作，则。 12. 向量的加法满足交换律，结合律（1）交换律：；（2）结合律：。以上运算律对多个向量也是成立的。 13. 需说明的几点（1）两个向量的和仍是一个向量。（2）当两个非零向量与不共线时，的方向与的方向都不相同，且（三角形两边之和总大于第三边）。（3）特殊位置关系的两向量的和向量与同向（如图所示）即向量与（或）方向相同，且；向量a与b反向（如图所示）且时，即与方向相同（与方向相反）且。（4）课本中对向量加法是采用三角形法则来定义的。这种定义，对两个向量共线时同样适用，但是当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了。多边形法则是三角形法则的进一步引申。各种法则都有它们的优越性，都应熟练掌握。（5）在多边形ABCD中，。 14. 相反向量与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作，零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（1）；（2）；（3）若互为相反向量，则。 15. 向量减法向量加上的相反向量，叫做与的差，即。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 16. 向量减法的作图法因为，所以求就是求这样一个向量，它与的和等于，从而得出的作图法。向量减法的几何作法：在平面内任取一点O，作，则，即表示从向量b的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 17. 需说明的两点（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算。利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法。在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可。（2）以向量为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为，这一结论在以后的应用中非常广泛，应该理解并记住。 18. 实数与向量的积的定义实数与向量的积是一个向量，记作。它的模与方向规定如下：（1）。（2）当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时，。需注意的问题：（1）关于实数与向量的积的理解：我们可以把向量的模扩大（当时），也可以缩小（当时），同时，我们可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）。（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当时，；而，若时，有。（3）注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算。比如无法运算。 19. 实数与向量的积满足的运算律设是实数，则有实数与向量的积也叫向量数乘。注意：要清楚向量数乘与数乘数的区别，前者结果是一个向量，后者结果是一个数。 20. 向量共线的条件（1）平行向量定理实际是由实数与向量的积推出的。课本中从正反两个方面加以论述，应重点掌握它的内容和应用。零向量和任何一个向量平行。都不是零向量时，若，当时，与同向；当时，与反向。（2）给定一个非零向量，与同向且长度等于1的向量，叫做向量的单位向量。如果的单位向量记作。由数乘向量的定义可知：。 21. 轴上向量的坐标及其运算（1）规定了方向和长度单位的直线叫做轴。e是轴上的单位向量，那么对轴上任意向量，一定存在惟一实数x，使。反过来，任意给定一个实数x，总能作一个向量，的长度等于这个实数x的绝对值。的方向与实数的符号一致。即x为正数时，的方向与轴相同；x为负数时，的方向与轴的方向相反。给定一向量，能生成与它平行的所有向量的集合，这里的向量叫做轴的基向量。x叫做在上的坐标（或数量）。x的绝对值等于的长，当与同方向时，x是正数，当与反方向时，x是负数。在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系。因此，我们可以用数值来表示向量，这一点是最重要的。（2）设，那么，如果，则；反之，如果，则。这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。（3）设是上的一单位向量，在上任取三点A、B、C，则。的坐标又常用表示，即，因此有，即。（4）在数轴x上，已知点A的坐标为，点B的坐标为，则。这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。且有。【典型例题】 例1. 已知向量，比较与的大小。解析：（1）当至少有一个为零向量时，有（2）当为非零向量时，且不共线时有 当为非零向量时，且同向共线时有 当为非零向量时，且异向共线时有点评：因为向量包含长度和方向，所以在比较长度的大小时，要注意其方向。解答本题可利用向量加法的三角形法则作出辅助解答。另外还要注意本题分类讨论的方法。 例2. 已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点。求证：解析：证法1：如图所示在四边形CDEF中，在四边形ABFE中，得：E、F分别是AD、BC的中点证法2：如图所示，在平面内取点O，连结AO、EO、DO、CO、FO、BO，则E、F是AD、BC的中点 点评：证法1主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识。证法2主要应用了向量和的多边形法则。 例3. 已知两个向量，求证：，则的方向与的方向垂直；反之，也成立。证明：（1）若与垂直，如图所示设与的方向垂直以OA、OB为邻边作矩形OACB，则又AOBC为矩形（2）若，设，以为邻边作平行四边形，则又即平行四边形OACB对角线相等平行四边形OACB为矩形的方向与的方向垂直点评：要证明的方向与的方向垂直，只需证明以为邻边的平行四边形为矩形。再进一步证明平行四边形的两条对角线长度相等即可。此题证明的关键在于运用了向量的和与向量的差的几何意义。 例4. 如图所示，在ABC中，D为BC边上的中点。求证：解析：证法1：又D为BC中点，即证法2：延长AD至E，使DEAD，连接BE，CE。又BDDC，四边形ABEC为平行四边形又点评：（1）证法1运用了向量的三角形法则，证法2运用了向量的平行四边形法则。（2）三角形中线所在向量的性质要作为结论记住，有较为广泛的用途，特别是在处理选择题、填空题时会显得很方便。 例5. 已知：D、E、F分别为ABC的三边BC、AC、AB的中点。求证：证明：如图所示点评：本文考查了三角形法则和向量加法。 1. 下列四个命题：时间、速度、加速度都是向量；向量的模是一个正实数；相等向量一定是平行向量；共线向量一定在同一直线上。其中真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 2. 若且，则四边形ABCD的形状为（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形 3. 已知下列各式：；。其中结果为0的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 已知a、b为非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）若，则a与b方向相同；若，则a与b方向相反；若，则a与b有相等的模；若，则a与b方向相同。A. 0B. 1C. 2D. 3 5. 如图所示，平行四边形ABCD中，O是平面内任一点，则（ ）A. B. C. D. 6. ，且共线，则a与b（ ）A. 共线B. 不共线C. 可能共线，也可能不共线D. 不能确定 7. 如图所示，已知，用表示，则_。（ ）A. B. C. D. 8. 如图所示，D、E、F分别是ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为_。 9. 当非零向量a、b满足_时，能使平分a与b的夹角。 10. O为平行四边形ABCD的中心，则_。 11. 若向量a，b满足，则的最小值是_，的最大值是_。 12. 在AOB中，C是AB边上的一点，且（），若，用a，b表示。 13. 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了300m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点。（1）作出向量（1cm表示100m）；（2）求的模。 14. 如图所示，设过OAB的重心G，与边OA、OB分别交于P、Q。设。求证： 15. 如图所示，ABCD是一个梯形，ABCD且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已