双曲线及其标准方程第八章教材分析

双曲线及其标准方程第八章教材分析1本节知识结构 双曲线的定义、双曲线的标准方程椭圆的标准方程、简单几何性质双曲线的简单几何性质2目的要求 掌握双曲线的定义以及标准方程 能够根据条件利用工具画双曲线。3教学任务分析（1）双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第8.1节进行教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点在讲解双曲线的定义前，可以先回忆椭圆的定义，在教材图83所示的图形中改变点F1与F2的距离，当|F1F2|AB|时，出现圆F1与圆F2不相交，让学生根据两圆相交的条件，连心线的长|F1F2|AB|r1r2|（两半径之差），自觉提出双曲线所满足的条件之一|F1F2|AB|，让学生在教师的指导下，自己操作，改变F1与F2的距离，使得|F1F2|AB|时点M的轨迹成为双曲线；再改变图？中点C的位置，出现双曲线的另一支（图？），理解条件|MF1|MF2|AB|中左边加绝对值的必要性，从而准确、完整地归纳、概括出双曲线的定义对于“常数要大于0且小于|F1F2|”，可以引导学生从MF1F2（三点共线情况除外）中两边之差小于第三边来理解（2）与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数（与椭圆不同，这个常数要大于0且小于|F1F2|）的点M的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程方程；但关于坐标适合方程点都在双曲线上，同椭圆一样，教科书中未加证明3讲述双曲线的标准方程时，可与椭圆比较如下： （1）如教科书中图 820，设 M（x，y）为双曲线上任意一点，若 M点在双曲线的右支上，则 |MF1|MF2|，|MF1|MF2|2a（a0）；若M在双曲线的左支上，则|MF1|MF2|，|MF1|MF2|2a，因此得|MF1|MF2|2a，这是与椭圆不同的地方 （2）当得到（c2a2）x2a2y2a2（c2a2）后，可以与椭圆一样处理因为ac，所以c2a20，令c2a2b2，则c，这与椭圆不同 （3）通过比较两种不同类型的双曲线方程 ，（a0，b0），向学生说明，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上 （4）在讲授过程中，可抓住与椭圆标准方程的异同，在教师指导下由学生列表进行对比，使学生掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系： 椭圆双曲线根据|MF1|MF2|2a根据|MF1|MF2|2a ac0， 令 a2c2b2（b0） 0ac， 令 c2a2b2（b0） （ab0） （a0，b0，a不一定大于b）4本小节的教学中，要进一步对学生进行坐标法的训练按照循序渐进的原则，教科书中的训练内容有所增加，难度有所提高本小节的例题（例2）中增加了用待定系数法求曲线方程的题目，即已知双曲线上两点（不是特殊点）的坐标，求双曲线的标准方程在使用待定系数法时，是将标准方程中的a、b作为待定系数，通过解方程组的办法求出a、b由于a、b在分母上，并且是二次的，这种情况学生在初中没有接触过，所以是一个难点教科书采用换元法，把方程化为二元一次方程，解这样的二元一次方程组，学生不会感到困难解这种方程组也可以不用换元法，而是直接解分式方程组，这样，在去掉分母后方程的次数比较高，运算量较大，教学时，可以根据学生的实际灵活处理为了使学生熟悉这种方法，教科书中还配备了一些练习题5第8.1节后的练习4曾经研究过“已知ABC一边的两个顶点是 B（6，0）和C（6，0），另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹。”习题8.3题5又研究“ABC一边的两个顶点是 B（0，6）和C（0，6），另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹”因此顺利成章，进行数学实验：已知ABC一边的两个顶点是 B（6，0）和C（6，0），另两边所在直线的斜率之积是k（k0），就k的不同取值探求顶点A的轨迹由于技术的介入，不仅可以动态观察k的符号变化对曲线形状的影响，而且可以观察k值连续变化时，椭圆怎样变成为双曲线（或者说双曲线怎样变成为椭圆），加强辩证法的教育。4教学设计案例【教学课题】双曲线的概念【教学目的】形成双曲线的概念，推导双曲线的标准方程。【教学工具】 几何画板软件。【教学过程】1 双曲线的概念 教师当堂制作，利用制作过程，明确几何关系。 （1）画直线AB，在直线AB上画一点C。 （2）画两点F1、F2。使F1F2长小于AB的长（估计即可，不需度量）。 （3）以点F1为圆心，线段AC为半径画圆F1；以F2为圆心以线段BC为半径画圆F2。 （4）作出圆F1与F2的交点P、M。 （5）跟踪点P、M。 拖动点C在直线AB上运动画出椭圆复习椭圆的意义。 其中|AB|2a，|F1F2|2c，ac。如图，再拖动点C使两圆不相交，提问“圆F1与F2为什么不相交，两圆相交的条件是什么？”两圆相交的条件是|r1r2|F1F2|r1r2，图中|r1r2|AB|，|r1r2|F1F2|不成立，所以两圆不相交（r1、r2分别表示两圆半径）。 “为使两圆相交我们应该怎样做？” “改变F1F2（或者|AB|）的长，使|F1F2|AB |。”拖动点F2，改变F1F2的长度，使|F1F2|AB|，ca！两圆开始相交，出现交点P、M。如图，向右拖动点C出现双曲线的右支。请学生叙述点P（或M）满足的几何条件：|PF1|PF2|CA|CB|AB|F1F2|。强调ac。再把点C拖到点A的左边，出现双曲线的左支，如图所示。请学生完整叙述双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。2 建立双曲线的标准方程 学生板演，先请学生评讲，教师再评讲。 以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系。设P（x，y），则有2a，移项，得2a，两边平方，得|ax|。式再两边平方并整理得（c2a2）x2a2 y2a2（c2a2），根据双曲线的定义ca，c2a20，设b2c2a2，代入上式，得1。这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线得焦点在x轴上，焦点是F1（c，0）F2（c，0）。如果双曲线的焦点在y轴上，把方程1中的x、y互换，得到它的方程为1，这也是双曲线的标准方程。双曲线的标准方程有两个。3 布置作业由式可得到，请解释式的几何意义。答案：式的几何意义是，点P到F2的距离与P到定直线x的距离之比是一个常数（因为ca0，所以1）。由于式与式等价，因此双曲线又可以解释为：平面上，一个动点P到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比是一个常数e（e1）的点的轨迹叫做双曲线。定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，常数e称为双曲线的离心率。4 说明（1）双曲线制作的过程生动有趣，同学们注意力集中，学习兴趣浓厚。形象、直观地演示揭示了双曲线与椭圆的联系与区别，暴露了双曲线概念形成的过程，加深了对知识的理解、记忆，尤其对定义中的“小于|F1F2|”、“ 距离的差的绝对值”两处关键条件的来历意义明确、印象深刻。（2）再度量出|F1F2|、|AB|的长，计算出，就很容易说明双曲线的离心率e与“开口”大小的关系。5信息技术学习材料 已知ABC一边的两个顶点是 B（6，0）和C（6，0），另两边所在直线的斜率之积是k（k0），就k的不同取值探求顶点A的轨迹 在几何画板中的作法：（1）用图表菜单的“绘制点”，绘制两点B（6，0）、D（6，0）。（2）用画圆工具画单位圆，作出单位圆与x轴负半轴的交点C。（3）作出上半个圆弧AC，并在半圆上画一点K。（4）画线段OK，度量线段OK的斜率k。（5）绘制点E（5，0），以D为圆心经过点E画圆。（6）在圆D上任意画一点F。（7）画直线DF，度量直线DF的斜率k1。（8）打开度量菜单的计算器，计算。（9）打开计算器，计算arc